Sejam u=(2,-2,3) e v=(1,-3,4).
Calcule \|2 u+v\|.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \;u=(2,-2,3)\; e \;v=(1,-3,4)\; e pede para calcular a norma do vetor \;2u+v\;.
Informações relevantes: os componentes de u e v estão explícitos; precisamos formar 2u+v (multiplicação escalar e soma de vetores em coordenadas) e depois calcular a norma euclidiana desse vetor.

Passo 2

Multiplicação escalar: para multiplicar um vetor por um número, multiplicamos cada componente por esse número. Aplicando isso a 2u:
2u = 2\cdot(2,-2,3) = (2\cdot 2,\;2\cdot(-2),\;2\cdot 3).
Calculemos cada componente:
2\cdot 2 = 4,\qquad 2\cdot(-2)=-4,\qquad 2\cdot 3=6.
Portanto
2u = (4,-4,6).

Passo 3

Soma de vetores em coordenadas: somamos componente a componente. Então
2u+v = (4,-4,6) + (1,-3,4) = (4+1,\; -4+(-3),\; 6+4).
Calculemos:
4+1=5,\qquad -4+(-3)=-7,\qquad 6+4=10.
Logo
2u+v = (5,-7,10).

Passo 4

Norma euclidiana em \mathbb{R}^3: para um vetor (x_1,x_2,x_3) a norma é
\|(x_1,x_2,x_3)\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}.
Aplicando ao vetor (5,-7,10):
\|2u+v\| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + 10^2}.
Calcule cada quadrado:
5^2 = 25,\qquad (-7)^2 = 49,\qquad 10^2 = 100.
Some:
25 + 49 + 100 = 174.
Portanto
\|2u+v\| = \sqrt{174}.
Observação: 174 = 2\cdot 3\cdot 29 não tem quadrado perfeito como fator além de 1, então \sqrt{174} é a forma mais simples exata; numericamente é aproximadamente 13{,}19.

Resposta

\sqrt{174}

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