Calcule a área do triângulo com vértices:
A(0,0), B(4,1), C(1,5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do triângulo com vértices A(0,0), B(4,1) e C(1,5).
Informações dadas:
\;A=(0,0), \;B=(4,1), \;C=(1,5).
O que se quer: a área do triângulo ABC.

Passo 2

Vamos entender a ferramenta que vamos usar — a ideia geométrica por trás da fórmula.
Se você tem dois vetores no plano \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y), a área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v} é o valor absoluto do determinante
\det\begin{pmatrix}u_x & v_x \\[4pt] u_y & v_y\end{pmatrix} = u_x v_y - u_y v_x.
Um triângulo formado por esses vetores (partindo da mesma origem) tem área metade desse paralelogramo, ou seja
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\big|u_x v_y - u_y v_x\big|.Áâ
No caso de três pontos (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) podemos usar os vetores \overrightarrow{P_1P_2} e \overrightarrow{P_1P_3} e aplicar a mesma fórmula. Outra forma equivalente (fórmula direta pelas coordenadas) é
\text{Área}=\frac{1}{2}\big|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\big|.Á
Eu vou aplicar a ideia dos vetores (determinante) porque fica muito direta e as contas são simples.]

Passo 3

Calculemos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} a partir de A(0,0):
\overrightarrow{AB}=B-A=(4-0,\;1-0)=(4,\;1),
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-0,\;5-0)=(1,\;5).

Passo 4

Agora calculamos o determinante (que é igual à “área do paralelogramo” orientada):
\det\begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix}=4\cdot 5 - 1\cdot 1 = 20 - 1 = 19.
Esse valor 19 é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. A área do triângulo é metade disso.]

Passo 5

Portanto a área do triângulo ABC é
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot 19=\frac{19}{2}.Á
Em forma decimal isso é 9{,}5. Você pode checar rápido que os cálculos são pequenos e sem necessidade de calculadora: deu 20-1=19 e metade disso é 9{,}5. Força aí — essa técnica com determinante é super prática na prova!

Resposta

\dfrac{19}{2}
9{,}5

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