Calcule o volume da região interior aos dois sólidos: x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e x^{2}+y^{2}=4 y.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região que está simultaneamente dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e dentro do cilindro definido por x^{2}+y^{2}=4y.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • Esfera de raio 4 centrada na origem: x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
  • Superfície x^{2}+y^{2}=4y, que é um cilindro com eixo paralelo ao eixo z.
  • Precisamos calcular o volume da interseção (região comum) desses dois sólidos.

Passo 2

Entender a curva no plano xy. Reescrevendo a equação do cilindro:
x^{2}+y^{2}=4y \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+(y-2)^{2}=4.
Isto mostra que, na projeção no plano xy, a região dentro do cilindro é um disco de raio 2 centrado em (0,2). É natural usar coordenadas polares padrão
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
pois a equação da esfera e a expressão x^{2}+y^{2}=r^{2} ficam simples.

Passo 3

Expressar a fronteira do disco em coordenadas polares. Na equação do cilindro:
r^{2}=4r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=4\sin\theta.
Para obter r\ge0 com r=4\sin\theta é necessário \sin\theta\ge0, logo \theta\in[0,\pi]. Assim a projeção D da região sobre o plano xy é
0\le r\le 4\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi.

Passo 4

Para um ponto com coordenadas polares (r,\theta) (qualquer z), a esfera dá
z^{2}=16-r^{2}\quad\Longrightarrow\quad z=\pm\sqrt{16-r^{2}}.
Portanto, a espessura vertical da interseção nessa posição é 2\sqrt{16-r^{2}}. O elemento de área em polares é dA=r\,dr\,d\theta. O volume total é a integral dupla
V=\iint_{D} \big(2\sqrt{16-r^{2}}\big)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{4\sin\theta} 2\sqrt{16-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Faça a substituição u=16-r^{2}, então du=-2r\,dr. Assim
\int_{0}^{4\sin\theta} 2r\sqrt{16-r^{2}}\,dr = \int_{u=16}^{u=16-16\sin^{2}\theta} -\sqrt{u}\,du = \left.-\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right|_{16}^{16\cos^{2}\theta}.
Avaliar os limites: 16^{3/2}=64 e (16\cos^{2}\theta)^{3/2}=64(\cos^{2}\theta)^{3/2}. Então a integral em r vale
\int_{0}^{4\sin\theta} 2r\sqrt{16-r^{2}}\,dr = -\tfrac{2}{3}\big(64(\cos^{2}\theta)^{3/2}-64\big) = \tfrac{128}{3}\big(1-(\cos^{2}\theta)^{3/2}\big).
Notar que (\cos^{2}\theta)^{3/2}=|\cos\theta|^{3}.

Passo 6

Agora integrar em \theta:
V=\int_{0}^{\pi} \tfrac{128}{3}\big(1-|\cos\theta|^{3}\big)\,d\theta = \tfrac{128}{3}\left(\int_{0}^{\pi}1\,d\theta - \int_{0}^{\pi}|\cos\theta|^{3}\,d\theta\right).
Calcular \int_{0}^{\pi}|\cos\theta|^{3}\,d\theta. Pela simetria,
\int_{0}^{\pi}|\cos\theta|^{3}\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta.
Para \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta faça u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du =\left[u-\tfrac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Logo
\int_{0}^{\pi}|\cos\theta|^{3}\,d\theta = 2\cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3}.

Passo 7

Substituir no valor de V:
V=\tfrac{128}{3}\left(\pi - \tfrac{4}{3}\right) = \tfrac{128}{3}\pi - \tfrac{512}{9}.
Fatorando,
V=\tfrac{128}{9}\big(3\pi-4\big).
Esse é o volume da região pedida. Força aí — deu trabalho, mas agora já tem uma boa receita para problemas parecidos!

Resposta

\dfrac{128}{9}\big(3\pi-4\big)

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