Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{D}(x+y) d A, D: x{2}+y{2}-2 y \leq 0$.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} (x+y)\,dA
no domínio D definido por
x^{2}+y^{2}-2y \leq 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a ser integrada é x+y.
  • O domínio D é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem x^{2}+y^{2}-2y \leq 0.
  • Observação útil (obtida a partir da expressão de D): completando o quadrado em y,
x^{2}+y^{2}-2y = x^{2}+(y-1)^{2}-1,
logo a condição x^{2}+y^{2}-2y \leq 0 é equivalente a
x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1.
Isso mostra que D é o disco de raio 1 centrado em (0,1).

Passo 2

Explicação rápida de coordenadas polares (o que vou usar):
  • Em coordenadas polares escrevemos um ponto (x,y) como
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo com o eixo x.
  • O elemento de área em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Por que aparece o r? Geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot r\,d\theta. Em integrais isso é o jacobiano da mudança de variáveis.

Passo 3

Determinar D em coordenadas polares:
  • Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na equação da fronteira de D,
x^{2}+y^{2}-2y = r^{2}-2r\sin\theta \le 0.
  • Fatorando r obtemos r(r-2\sin\theta)\le 0. Como r\ge 0, isto equivale a
0 \le r \le 2\sin\theta
desde que 2\sin\theta\ge 0, ou seja \sin\theta\ge 0.
  • Portanto \theta varia onde \sin\theta\ge 0, isto é \theta\in[0,\pi], e para cada \theta temos r\in[0,\,2\sin\theta].
  • Em resumo, em polares D é dado por
0\le \theta \le \pi,\qquad 0\le r \le 2\sin\theta.

Passo 4

Passar a integral para coordenadas polares:
  • A integranda x+y em polares fica
x+y = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta).
  • Multiplicando pelo jacobiano r temos o integrando em r,\theta:
(x+y)\,dA = r(\cos\theta+\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.
  • Assim a integral é
I=\iint_{D}(x+y)\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
  • Integrando em r,
\int_{0}^{2\sin\theta} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2\sin\theta} = \frac{(2\sin\theta)^{3}}{3} = \frac{8}{3}\sin^{3}\theta.
  • Multiplicando pelo fator (\cos\theta+\sin\theta), obtemos a integral em \theta:
I = \int_{0}^{\pi} \frac{8}{3}\sin^{3}\theta\,(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = \frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\big(\sin^{3}\theta\cos\theta + \sin^{4}\theta\big)\,d\theta.

Passo 6

Calcular as integrais em \theta:
  • Primeira parcela:
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\cos\theta\,d\theta.
Fazer a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta=0 tem u=0 e quando \theta=\pi tem u=0. Assim a integral vira \int_{0}^{0} u^{3}\,du = 0. Portanto essa parcela vale 0.
  • Segunda parcela:
\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\,d\theta.
Usar redução de potência. Primeiro escrever
\sin^{4}\theta = \left(\frac{1-\cos 2\theta}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\big(1 - 2\cos 2\theta + \cos^{2}2\theta\big).
E lembrar que \cos^{2}2\theta = \dfrac{1+\cos 4\theta}{2}. Assim
\sin^{4}\theta = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{8}\cos 4\theta.
Integrando de 0 a \pi,
\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\,d\theta = \left[\frac{3}{8}\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta + \frac{1}{32}\sin 4\theta\right]_{0}^{\pi}.
As parcelas com seno avaliam zero em 0 e \pi, restando
\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\,d\theta = \frac{3}{8}\pi.

Passo 7

Juntar resultados e concluir:
  • A primeira parcela deu 0 e a segunda deu \dfrac{3}{8}\pi. Logo
I = \frac{8}{3}\left(0 + \frac{3}{8}\pi\right) = \pi.

Resposta

\pi

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