Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{D}(x+y) d A, D: x{2}+y{2}-2 y \leq 0$.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} (x+y)\,dA
no domínio D definido por
x^{2}+y^{2}-2y \leq 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função a ser integrada é x+y.
O domínio D é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem x^{2}+y^{2}-2y \leq 0.
Observação útil (obtida a partir da expressão de D): completando o quadrado em y,
x^{2}+y^{2}-2y = x^{2}+(y-1)^{2}-1,
logo a condição x^{2}+y^{2}-2y \leq 0 é equivalente a
x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1.
Isso mostra que D é o disco de raio 1 centrado em (0,1).
Passo 2
Explicação rápida de coordenadas polares (o que vou usar):
Em coordenadas polares escrevemos um ponto (x,y) como
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo com o eixo x.
O elemento de área em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Por que aparece o r? Geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot r\,d\theta. Em integrais isso é o jacobiano da mudança de variáveis.
Passo 3
Determinar D em coordenadas polares:
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na equação da fronteira de D,
x^{2}+y^{2}-2y = r^{2}-2r\sin\theta \le 0.
Fatorando r obtemos r(r-2\sin\theta)\le 0. Como r\ge 0, isto equivale a
0 \le r \le 2\sin\theta
desde que 2\sin\theta\ge 0, ou seja \sin\theta\ge 0.
Portanto \theta varia onde \sin\theta\ge 0, isto é \theta\in[0,\pi], e para cada \theta temos r\in[0,\,2\sin\theta].
Em resumo, em polares D é dado por
0\le \theta \le \pi,\qquad 0\le r \le 2\sin\theta.
Multiplicando pelo fator (\cos\theta+\sin\theta), obtemos a integral em \theta:
I = \int_{0}^{\pi} \frac{8}{3}\sin^{3}\theta\,(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = \frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\big(\sin^{3}\theta\cos\theta + \sin^{4}\theta\big)\,d\theta.
Passo 6
Calcular as integrais em \theta:
Primeira parcela:
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\cos\theta\,d\theta.
Fazer a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta=0 tem u=0 e quando \theta=\pi tem u=0. Assim a integral vira \int_{0}^{0} u^{3}\,du = 0. Portanto essa parcela vale 0.