Calcule o volume da região limitada por:
Volume limitado por z=100-x^{2}-y^{2} e z=0 sobre x^{2}+y^{2} \leq 100.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em que a superfície parabólica z=100 - x^{2}-y^{2} fica acima do plano z=0, com projeção no plano xy dada pelo disco x^{2}+y^{2}\le100. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área vale dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a região de projeção é 0\le r\le10, 0\le\theta\le2\pi, e para cada (r,\theta) temos 0\le z\le100 - r^{2}. Logo, o volume é
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{10} \bigl(100 - r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro calculamos a integral em r:
\int_{0}^{10} \bigl(100 - r^{2}\bigr)\,r\,dr = \int_{0}^{10} \bigl(100r - r^{3}\bigr)\,dr = \Bigl[50\,r^{2} - \tfrac{1}{4}r^{4}\Bigr]_{0}^{10} = 50\cdot100 - \tfrac{1}{4}\cdot10000 = 5000 - 2500 = 2500.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} 2500\,d\theta = 2500 \cdot 2\pi = 5000\pi.

Resposta

5000\pi

Exercícios relacionados