Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=(y, x) ao longo do segmento de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=(y,x) ao longo do segmento C que vai de (0,0) a (1,1). O conteúdo envolvido é cálculo de integral de linha de um campo vetorial em uma curva orientada; aqui podemos usar parametrização da reta.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por \mathbf{r}(t)=(t,t) para 0\le t\le1. Então
\mathbf{r}'(t)=(1,1),
e
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(t,t).
O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=t\cdot1 + t\cdot1 = 2t.
Portanto a integral de linha fica
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}2t\,dt =\bigl[t^2\bigr]_{0}^{1} =1.

Resposta

1

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