Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}, y^{2}\right) ao longo do círculo unitário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y)=(x^{2},y^{2}) e C é o círculo unitário orientado positivamente.
Conteúdo: parametrização de curva, produto escalar e cálculo de integrais de funções de uma variável.

Passo 2

Parametrizamos C por
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t),\quad 0\le t\le2\pi,
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\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t)\,.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(\cos^{2}t,\;\sin^{2}t)
e
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =\cos^{2}t\,(-\sin t)+\sin^{2}t\,\cos t =-\cos^{2}t\sin t+\sin^{2}t\cos t.
Portanto
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-\cos^{2}t\sin t+\sin^{2}t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 4

Cada termo integra-se a zero por ser função periódica de período 2\pi ou por mudar de sinal simetricamente:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt =\frac13\bigl[\cos^{3}t\bigr]_{0}^{2\pi}=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt =\frac13\bigl[\sin^{3}t\bigr]_{0}^{2\pi}=0.
Logo a integral total é zero.

Resposta

O valor da integral de linha é 0.

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