Calcule o volume da região limitada por:
Volume limitado por z=36-x^{2}-y^{2} e z=0 sobre x^{2}+y^{2} \leq 36.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em \mathbb{R}^3 limitada acima pelo paraboloide
z = 36 - x^2 - y^2
e abaixo pelo plano z=0, com projeção no plano xy dada pelo disco
x^2 + y^2 \le 36.
O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
o jacobiano é r e a região fica
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 6,\quad 0 \le z \le 36 - r^2.
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V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{6}\int_{0}^{36 - r^2} r \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{36 - r^2} r\,\mathrm{d}z = r\bigl[z\bigr]_{0}^{36 - r^2} = r\,(36 - r^2) = 36r - r^3.
Então o volume se reduz a
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{6} \bigl(36r - r^3\bigr)\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Calculamos agora a integral em r:
\int_{0}^{6}(36r - r^3)\mathrm{d}r = \Bigl[18r^2 - \tfrac14 r^4\Bigr]_{0}^{6} = 18\cdot 36 - \tfrac14\cdot 6^4 = 648 - 324 = 324.

Passo 4

Falta multiplicar pela parte angular:
V = \int_{0}^{2\pi} 324 \,\mathrm{d}\theta = 324\cdot 2\pi = 648\pi.

Resposta

\displaystyle 648\pi

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