Calcule o volume da região limitada por:
Volume entre z=x^{2}+y^{2} e z=4 sobre x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região limitada pelas superfícies \,z = x^2 + y^2 (paraboloide) e \,z = 4, sobre o disco x^2 + y^2 \le 4.
O conteúdo é cálculo de volume usando integração dupla, com a ideia de usar
V = \iint_{D} \bigl(z_{\text{superior}} - z_{\text{inferior}}\bigr)\,dA
e, devido à simetria circular, adotaremos coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o volume é
V = \iint_{D} \bigl(4 - (x^2 + y^2)\bigr)\,dA,
onde D = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 \le 4\}.

Passo 3

Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e o disco vira 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi. Assim
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \bigl(4 - r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro calculamos a integral em r:
\int_{0}^{2} (4r - r^3)\,dr = \left[2r^2 - \tfrac{r^4}{4}\right]_{0}^{2} = 2\cdot4 - \tfrac{16}{4} = 8 - 4 = 4.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 4 \times 2\pi = 8\pi.

Resposta

8\pi

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