Calcule o volume da região situada entre as esferas de raios 2 e 5 (ambas com centro na origem) e acima do cone \varphi=\frac{\pi}{3} em coordenadas esféricas, considerando que \varphi é o ângulo medido a partir do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região do espaço que satisfaz simultaneamente:
  • está entre duas esferas centradas na origem, com raios 2 e 5 (ou seja, a distância radial \rho varia entre 2 e 5);
  • está “acima” do cone dado por \varphi=\dfrac{\pi}{3}, onde \varphi é o ângulo medido a partir do eixo z.
Informações dadas:
  • raios das esferas: 2 e 5;
  • cone: \varphi=\dfrac{\pi}{3};
  • centro das esferas: origem;
O que se pede:
  • calcular o volume da região descrita.

Passo 2

Vamos usar coordenadas esféricas porque a região é naturalmente expressa por limites em \rho e \varphi. Em coordenadas esféricas cada ponto é dado por três variáveis:
\rho,\\ \varphi,\\ \theta
onde
  • \rho é a distância do ponto à origem (ou seja, o raio);
  • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (medido a partir do eixo z);
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
A razão para usar coordenadas esféricas é que superfícies esféricas são simplesmente \rho= constante e cones fixos são \varphi= constante — então os limites ficam fáceis.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta e intuitiva: uma fatia radial de espessura d\rho tem área aproximada da superfície esférica \rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta, e multiplicando por d\rho obtém-se o volume do elemento.

Passo 3

Descrever a região em termos de \rho,\varphi,\theta:
  • Pela condição "entre as esferas de raios 2 e 5" temos
2 \le \rho \le 5.
  • "Acima do cone \varphi=\dfrac{\pi}{3}" (com \varphi medido a partir do eixo z) significa que estamos na parte mais próxima do eixo z, ou seja
0 \le \varphi \le \dfrac{\pi}{3}.
(Se \varphi fosse maior que \pi/3 estaríamos abaixo do cone; “acima” corresponde a \varphi menores.)
  • O ângulo azimutal \theta percorre todo o círculo em torno do eixo z, então
0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 4

Montar a integral tripla para o volume usando o elemento de volume:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/3}\int_{\rho=2}^{5}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Aqui os limites estão colocados na ordem \rho interno, \varphi médio, \theta externo, que é natural e permite separação das integrais porque o integrando é produto de função em \rho e função em \varphi (e constante em \theta).

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
  1. Integral em \rho:
\int_{2}^{5}\rho^{2}\,d\rho=\left[\dfrac{\rho^{3}}{3}\right]_{2}^{5}=\dfrac{5^{3}-2^{3}}{3}=\dfrac{125-8}{3}=\dfrac{117}{3}=39.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/3}=-\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos 0=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Agora multiplicando os fatores (porque as integrais se separam):
V = \left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{2}^{5}\rho^{2}\,d\rho\right)=2\pi\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 39.

Passo 6

Fazer a multiplicação final:
2\pi\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 39=39\pi.
Portanto o volume pedido é 39\pi. Boa! Você montou a integral direitinho e fez as integrais na ordem que facilita os cálculos — esse é o truque em provas: traduzir a descrição geométrica em limites simples em coordenadas adequadas.

Resposta

39\pi

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