Calcule o volume da região situada entre as esferas de raios 2 e 5 (ambas com centro na origem) e acima do cone
em coordenadas esféricas, considerando que
é o ângulo medido a partir do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região do espaço que satisfaz simultaneamente:
- está entre duas esferas centradas na origem, com raios
e (ou seja, a distância radial varia entre e ); - está “acima” do cone dado por
, onde é o ângulo medido a partir do eixo .
Informações dadas:
- raios das esferas:
e ; - cone:
; - centro das esferas: origem;
O que se pede:
- calcular o volume da região descrita.
Passo 2
Vamos usar coordenadas esféricas porque a região é naturalmente expressa por limites em
e
. Em coordenadas esféricas cada ponto é dado por três variáveis:
onde
-
é a distância do ponto à origem (ou seja, o raio); -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (medido a partir do eixo ); -
é o ângulo azimutal no plano .
A razão para usar coordenadas esféricas é que superfícies esféricas são simplesmente
constante e cones fixos são
constante — então os limites ficam fáceis.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Explicação curta e intuitiva: uma fatia radial de espessura
tem área aproximada da superfície esférica
, e multiplicando por
obtém-se o volume do elemento.
Passo 3
Descrever a região em termos de
:
- Pela condição "entre as esferas de raios
e " temos
- "Acima do cone
" (com medido a partir do eixo ) significa que estamos na parte mais próxima do eixo , ou seja
(Se
fosse maior que
estaríamos abaixo do cone; “acima” corresponde a
menores.)
- O ângulo azimutal
percorre todo o círculo em torno do eixo , então
Passo 4
Montar a integral tripla para o volume usando o elemento de volume:
Aqui os limites estão colocados na ordem
interno,
médio,
externo, que é natural e permite separação das integrais porque o integrando é produto de função em
e função em
(e constante em
).
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Agora multiplicando os fatores (porque as integrais se separam):
Passo 6
Fazer a multiplicação final:
Portanto o volume pedido é
. Boa! Você montou a integral direitinho e fez as integrais na ordem que facilita os cálculos — esse é o truque em provas: traduzir a descrição geométrica em limites simples em coordenadas adequadas.