Determine o volume do sólido S indicado, se:
S está abaixo do paraboloide elíptico x^{2} / 4+y^{2} / 2+z=1 e acima do retângulo R=[-1,1] \times[-2,2].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado acima pelo paraboloide elíptico
x^{2}/4 \;+\; y^{2}/2 \;+\; z \;=\; 1
e “sobre” o retângulo R = [-1,1]\times[-2,2] no plano xy.
Em outras palavras, podemos escrever a superfície superior como
z = 1 \;-\;\frac{x^{2}}{4}\;-\;\frac{y^{2}}{2}
e o volume é dado pela integral dupla dessa função em R.

Passo 2

Escrevemos o volume V como
V \;=\;\iint_{R} z\,dA \;=\; \iint_{R}\Bigl(1 \;-\;\tfrac{x^{2}}{4}\;-\;\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dA.
Em coordenadas cartesianas isso vira
V \;=\;\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-2}^{2} \Bigl(1 \;-\;\tfrac{x^{2}}{4}\;-\;\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
\int_{y=-2}^{2} \Bigl(1 \;-\;\tfrac{x^{2}}{4}\Bigr)\,dy \;-\; \int_{y=-2}^{2}\frac{y^{2}}{2}\,dy.
A parte \bigl(1 - x^{2}/4\bigr) é constante em y, portanto
\int_{-2}^{2} \Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr)\,dy = 4\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr) = 4 - x^{2},
e
\int_{-2}^{2}\frac{y^{2}}{2}\,dy = \frac{1}{2}\,\int_{-2}^{2}y^{2}\,dy = \frac{1}{2}\times\frac{2\cdot2^{3}}{3} = \frac{8}{3}.
Logo o integrando em y fica
\bigl(4 - x^{2}\bigr)\;-\;\frac{8}{3} = \frac{12}{3}-\frac{8}{3}-x^{2} = \frac{4}{3}-x^{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
V = \int_{x=-1}^{1} \Bigl(\tfrac{4}{3}-x^{2}\Bigr)\,dx = \int_{-1}^{1}\frac{4}{3}\,dx \;-\; \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx.
Calculamos separadamente:
\int_{-1}^{1}\frac{4}{3}\,dx = \frac{4}{3}\times2 = \frac{8}{3}, \quad \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Subtraindo,
V = \frac{8}{3}-\frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2.

Resposta

O volume do sólido S é 2.

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