Calcule o volume do sólido dado:
Limitado pelos cilindros
e pelos planos
no primeiro octante.
Limitado pelos cilindros
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja,
,
,
) e é limitado pelas superfícies
(paraboloide cilíndrico),
(paraboloide cilíndrico),
(plano),
e pelos planos e
.
Para resolver usamos integração tripla em coordenadas cartesianas, projetando o sólido no plano e depois integrando em
.
e pelos planos
Para resolver usamos integração tripla em coordenadas cartesianas, projetando o sólido no plano
Passo 2
Vamos achar a projeção
desse sólido no plano
. As bordas de
são:
– a linha ,
– a linha , ou seja
,
– o eixo .
Interseção de e
dá
– a linha
– a linha
– o eixo
Interseção de
e para
temos
.
Logo é
Logo
Passo 3
Em cada ponto
,
vai de
até
. Logo o volume é
pois
.
Passo 4
Calcule a integral em
e depois em
:
Agora