Calcule o volume do sólido dado:
Limitado pelos cilindros z=x^{2}, y=x^{2} e pelos planos x=2 y, x=0 z=0 \mathrm{e} no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, \,x\ge0, \,y\ge0, \,z\ge0) e é limitado pelas superfícies \,z = x^2 (paraboloide cilíndrico), \,y = x^2 (paraboloide cilíndrico), \,x = 2\,y (plano),
e pelos planos \,x=0 e \,z=0.
Para resolver usamos integração tripla em coordenadas cartesianas, projetando o sólido no plano xy e depois integrando em z.

Passo 2

Vamos achar a projeção D desse sólido no plano xy. As bordas de D são:
– a linha y = x^2,
– a linha x = 2y, ou seja y = \tfrac{x}{2},
– o eixo x=0.
Interseção de y = x^2 e y = \tfrac{x}{2}
x^2 = \tfrac{x}{2} \quad\Longrightarrow\quad x\bigl( x - \tfrac12\bigr)=0 \;\Rightarrow\;x=0\text{ ou }x=\tfrac12,
e para x=\tfrac12 temos y=(\tfrac12)^2=\tfrac14.
Logo D é
0 \le x \le \tfrac12,\quad x^2 \le y \le \tfrac{x}{2}.

Passo 3

Em cada ponto (x,y)\in D, z vai de 0 até x^2. Logo o volume é
V \;=\;\int_{x=0}^{1/2} \int_{y=x^2}^{\,x/2} \int_{z=0}^{\,x^2} \!dz\;dy\;dx \;=\;\int_{0}^{1/2}\!\int_{x^2}^{x/2} x^2\,dy\,dx,
pois \int_0^{x^2}dz = x^2.

Passo 4

Calcule a integral em y e depois em x:
\int_{y=x^2}^{\,x/2}x^2\,dy = x^2\Bigl(\tfrac{x}{2}-x^2\Bigr) = \tfrac{x^3}{2}-x^4.
Agora
V = \int_{0}^{1/2}\Bigl(\tfrac{x^3}{2}-x^4\Bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^4}{8}-\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1/2} = \frac{1}{128}-\frac{1}{160} = \frac{1}{640}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{1}{640}.

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