Calcule o centro de gravidade da lâmina triangular com vértices (0,0),(0,1) e(1,0) e função de densidade \delta(x, y)=x y.

Passo 1

O enunciado pede o centro de gravidade de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (0,1) e (1,0) e densidade \delta(x,y)=xy. Para resolver, vamos usar as fórmulas de lâmina com densidade variável:
A massa total é
M=\iint_{D}\delta(x,y)\,dA.
As coordenadas do centro de gravidade são
X_c=\frac{1}{M}\iint_{D}x\,\delta(x,y)\,dA, \quad Y_c=\frac{1}{M}\iint_{D}y\,\delta(x,y)\,dA.
Aqui o domínio D é o triângulo \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.

Passo 2

Calculando a massa M:
M =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}x\,y\,dy\,dx =\int_{0}^{1}x\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{1-x}dx =\tfrac12\int_{0}^{1}x(1-x)^2dx.
Expandindo e integrando,
\tfrac12\int_{0}^{1}(x-2x^2+x^3)dx =\tfrac12\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12\Bigl(\tfrac12-\tfrac23+\tfrac14\Bigr) =\tfrac{1}{24}.
Portanto M=\tfrac{1}{24}.

Passo 3

Calculando o momento M_x=\iint_{D}x\,\delta(x,y)\,dA=\iint_{D}x^2y\,dA:
M_x =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^2y\,dy\,dx =\int_{0}^{1}x^2\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{1-x}dx =\tfrac12\int_{0}^{1}x^2(1-x)^2dx.
Expandindo e integrando,
\tfrac12\int_{0}^{1}(x^2-2x^3+x^4)dx =\tfrac12\Bigl[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{2x^4}{4}+\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12\Bigl(\tfrac13-\tfrac12+\tfrac15\Bigr) =\tfrac{1}{60}.

Passo 4

Calculando o momento M_y=\iint_{D}y\,\delta(x,y)\,dA=\iint_{D}xy^2\,dA:
M_y =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}xy^2\,dy\,dx =\int_{0}^{1}x\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{0}^{1-x}dx =\tfrac13\int_{0}^{1}x(1-x)^3dx.
Expandindo e integrando,
\tfrac13\int_{0}^{1}(x-3x^2+3x^3-x^4)dx =\tfrac13\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-x^3+\tfrac{3x^4}{4}-\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac13\Bigl(\tfrac12-1+\tfrac34-\tfrac15\Bigr) =\tfrac{1}{60}.

Passo 5

Usando os valores obtidos,
X_c=\frac{M_x}{M}=\frac{\tfrac{1}{60}}{\tfrac{1}{24}}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}, \quad Y_c=\frac{M_y}{M}=\frac{\tfrac{1}{60}}{\tfrac{1}{24}}=\frac{2}{5}.

Resposta

O centro de gravidade da lâmina é \bigl(\tfrac{2}{5},\tfrac{2}{5}\bigr).

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