Suponha que uma lâmina com função de densidade contínua \delta(x, y) ocupa uma região R num plano horizontal x y. Determine as coordenadas ( \bar{x}, \bar{y} ) do centro de gravidade.

Passo 1

Temos uma lâmina fina que ocupa uma região R no plano xy e cuja densidade superficial é dada pela função contínua \delta(x,y). O centro de gravidade (ou centro de massa) (\bar x,\bar y) é encontrado a partir da massa total da lâmina e de seus momentos em relação aos eixos.

Passo 2

Definimos a massa total M da lâmina como a integral da densidade sobre a região R:
M = \iint_{R} \delta(x,y)\,dA.

Passo 3

Definimos os momentos estáticos em relação aos eixos coordenados:
o momento em relação ao eixo y (que mede “alavancagem” na direção x) é
M_{y} = \iint_{R} x\,\delta(x,y)\,dA,
e o momento em relação ao eixo x (que mede “alavancagem” na direção y) é
M_{x} = \iint_{R} y\,\delta(x,y)\,dA.

Passo 4

As coordenadas do centro de gravidade são os quocientes entre cada momento e a massa total:
\bar x = \frac{M_{y}}{M} \quad\text{e}\quad \bar y = \frac{M_{x}}{M}.

Resposta

\bar x = \frac{\displaystyle \iint_{R} x\,\delta(x,y)\,dA}{\displaystyle \iint_{R} \delta(x,y)\,dA}, \qquad \bar y = \frac{\displaystyle \iint_{R} y\,\delta(x,y)\,dA}{\displaystyle \iint_{R} \delta(x,y)\,dA}.

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