Suponha que uma lâmina com função de densidade contínua
ocupa uma região R num plano horizontal
. Determine as coordenadas (
) do centro de gravidade.
Passo 1
Temos uma lâmina fina que ocupa uma região
no plano
e cuja densidade superficial é dada pela função contínua
. O centro de gravidade (ou centro de massa)
é encontrado a partir da massa total da lâmina e de seus momentos em relação aos eixos.
Passo 2
Definimos a massa total
da lâmina como a integral da densidade sobre a região
:
Passo 3
Definimos os momentos estáticos em relação aos eixos coordenados:
o momento em relação ao eixo (que mede “alavancagem” na direção
) é
o momento em relação ao eixo
e o momento em relação ao eixo
(que mede “alavancagem” na direção
) é
Passo 4
As coordenadas do centro de gravidade são os quocientes entre cada momento e a massa total: