8 Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
O conteúdo aqui é volume via dupla integral da diferença entre as superfícies, e vamos precisar usar mudança de variáveis para lidar com a região elíptica no plano
.
Passo 2
Para encontrar a projeção
do sólido no plano
, igualamos as duas superfícies:
Logo
é a região elíptica
.
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Para simplificar a elipse
, fazemos a troca
de modo que a região vira
e o integrando fica
Passo 5
Usando coordenadas polares em
, isto é,
temos
No interior:
Portanto