8 Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies z=2 x^2+y^2 e z=4-2 x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
z = 2x^2 + y^2
e
z = 4 - 2x^2 - y^2
O conteúdo aqui é volume via dupla integral da diferença entre as superfícies, e vamos precisar usar mudança de variáveis para lidar com a região elíptica no plano xy.

Passo 2

Para encontrar a projeção D do sólido no plano xy, igualamos as duas superfícies:
2x^2 + y^2 ;=; 4 - 2x^2 - y^2 Longrightarrow 4x^2 + 2y^2 = 4 Longrightarrow x^21 + y^22 = 1
Logo D é a região elíptica (x,y)mid x^2+(y^2)/2<=1.

Passo 3

O volume é dado por
V = integral duplaD l[,(4 - 2x^2 - y^2) - (2x^2 + y^2)r],dA = integral duplaD l(4 - 4x^2 - 2y^2r),dA

Passo 4

Para simplificar a elipse x^2+(y^2)/2<=1, fazemos a troca
u = x, v = yraiz2 Longrightarrow dA = dx,dy = raiz2,du,dv,
de modo que a região vira u^2+v^2<=1 e o integrando fica
4 - 4u^2 - 2(raiz2,v)^2 = 4 - 4u^2 - 4v^2

Passo 5

Usando coordenadas polares em (u,v), isto é,
u = rcostheta, v = rsintheta, 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi,
temos
V = raiz2 integral0^2pi!integral0^1 (4 - 4r^2),r,dr,dtheta = raiz2 integral0^2pil[integral0^1(4r - 4r^3),drr]dtheta
No interior:
integral0^1(4r - 4r^3),dr = l[2r^2 - r^4r]0^1 = 2 - 1 = 1
Portanto
V = raiz2 cdot integral0^2pi1,dtheta = 2piraiz2

Resposta

V = 2piraiz2

Exercícios relacionados