Qual é o sistema de aproximação linear para
dotx & =P1(x, y), doty & =P2(x, y),
quando P1 e P2 são polinômios.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um sistema não-linear em
onde são polinômios em . O conteúdo é linearização de sistemas dinâmicos pelo desenvolvimento em série de Taylor até a ordem um. Para isso precisamos do ponto em que vamos aproximar (tipicamente um ponto de equilíbrio ) e das derivadas parciais de e .

Passo 2

Escolhemos um ponto de expansão (x0,y0). Em geral (x0,y0) é um ponto de equilíbrio, isto é
P1(x0,y0)=0 e P2(x0,y0)=0
Fazemos a mudança de variáveis
u = x - x0, v = y - y0,
de modo que o sistema original em (u,v) passe a ter origem no ponto de equilíbrio.

Passo 3

Desenvolvemos cada polinômio em série de Taylor em torno de (x0,y0) até termos lineares. Para P1:
P1(x,y) = P1(x0,y0) + partial P1partial x(x0,y0),(x-x0) + partial P1partial y(x0,y0),(y-y0) + ordens superiores
Como P1(x0,y0)=0, sobra apenas a parte linear em u,v. O mesmo vale para P2.

Passo 4

Reescrevendo no novo sistema e desprezando termos de ordem , obtemos o sistema de aproxima\u00e7\u00e3o linear
Esse matriz \u00e9 justamente a Jacobiana do campo vetorial avaliada em .]

Passo 5

Concluindo, o sistema de aproximação linear em torno de (x0,y0) é
dotz = Jl(x0,y0r),z,
onde z=(u,v)^T e
J(x0,y0) = P1,x(x0,y0) & P1,y(x0,y0) P2,x(x0,y0) & P2,y(x0,y0)

Resposta

O sistema de aproxima\u00e7\u00e3o linear \u00e9
onde \u00e9 o ponto de expans\u00e3o (tipicamente um ponto de equil\u00edbrio).]

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