Qual é o sistema de aproximação linear para
quando
e
são polinômios.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um sistema não-linear em
onde são polinômios em
. O conteúdo é linearização de sistemas dinâmicos pelo desenvolvimento em série de Taylor até a ordem um. Para isso precisamos do ponto em que vamos aproximar (tipicamente um ponto de equilíbrio
) e das derivadas parciais de
e
.
Passo 2
Escolhemos um ponto de expansão
. Em geral
é um ponto de equilíbrio, isto é
Fazemos a mudança de variáveis
de modo que o sistema original em
passe a ter origem no ponto de equilíbrio.
Passo 3
Desenvolvemos cada polinômio em série de Taylor em torno de
até termos lineares. Para
:
Como
, sobra apenas a parte linear em
. O mesmo vale para
.
Passo 4
Reescrevendo no novo sistema
e desprezando termos de ordem
, obtemos o sistema de aproxima\u00e7\u00e3o linear
Esse matriz
\u00e9 justamente a Jacobiana do campo vetorial
avaliada em
.]
Passo 5
Concluindo, o sistema de aproximação linear em torno de
é
onde
e
Resposta
O sistema de aproxima\u00e7\u00e3o linear \u00e9
onde
\u00e9 o ponto de expans\u00e3o (tipicamente um ponto de equil\u00edbrio).]