Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear
na origem, nos casos seguintes:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para classificar o equilíbrio na origem do sistema linear
com
O conteúdo é análise de estabilidade linear: vamos calcular autovalores, obter a solução geral e aplicar a definição de estabilidade de Lyapunov.
Passo 2
Calculemos os autovalores de
A . Como
det(A - lambda I)=detl(-lambda&10&-lambdar)=lambda^2 , os autovalores são
Além disso
A é nilpotente de ordem
2 , portanto não é diagonalizável e tem um bloco de Jordan de tamanho
2 .
Passo 3
Para ver a dinâmica, escrevamos
x=(x1,x2) . O sistema
dot x=Ax equivale a
Da segunda equação vem
x2(t)=x2(0)=c2 . Substituindo na primeira,
onde
c1=x1(0) e
c2=x2(0) .
Passo 4
Para testar estabilidade de Lyapunov, tomemos condições iniciais arbitrariamente pequenas, por exemplo
c1=0 e
c2=varepsilon>0 . Então
ou seja, mesmo para dados iniciais arbitrariamente pequenos a solução escapa da vizinhança da origem. Logo o equilíbrio é instável. Note também que todos os pontos da reta
x2=0 são equilíbrios, então a origem não está isolada, mas o critério principal aqui é que ela é instável.
Resposta
Instável.