Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear A na origem, nos casos seguintes:
(b) (ll0 & 1 0 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o equilíbrio na origem do sistema linear
dotx = A x,
com
A = 0 & 1 0 & 0
O conteúdo é análise de estabilidade linear: vamos calcular autovalores, obter a solução geral e aplicar a definição de estabilidade de Lyapunov.

Passo 2

Calculemos os autovalores de A. Como det(A - lambda I)=detl(-lambda&10&-lambdar)=lambda^2, os autovalores são
lambda1=0, lambda2=0
Além disso A é nilpotente de ordem 2, portanto não é diagonalizável e tem um bloco de Jordan de tamanho 2.

Passo 3

Para ver a dinâmica, escrevamos x=(x1,x2). O sistema dot x=Ax equivale a
dot x1 = x2, dot x2 = 0
Da segunda equação vem x2(t)=x2(0)=c2. Substituindo na primeira,
x1(t)=c2,t + c1,
onde c1=x1(0) e c2=x2(0).

Passo 4

Para testar estabilidade de Lyapunov, tomemos condições iniciais arbitrariamente pequenas, por exemplo c1=0 e c2=varepsilon>0. Então
|x(t)| approx raiz(varepsilon t)^2 + varepsilon^2toinftyquando ttoinfty,
ou seja, mesmo para dados iniciais arbitrariamente pequenos a solução escapa da vizinhança da origem. Logo o equilíbrio é instável. Note também que todos os pontos da reta x2=0 são equilíbrios, então a origem não está isolada, mas o critério principal aqui é que ela é instável.

Resposta

Instável.

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