Use integral dupla para calcular a área das três regiões do plano XoY delimitadas pelas linhas cujas equações cartesianas são:
e
e
.
Passo 1
O exercício pede para usar integrais duplas e calcular a área das três regiões do plano XoY delimitadas pelas curvas y=x², y=6−x e y=1. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção dessas curvas, identificar cada região e escrever a integral adequada para cada área.
Passo 2
Primeiro determinamos as interseções entre as três curvas: 1) y=x² e y=6−x ⇒ x²=6−x ⇒ x²+x−6=0 ⇒ x=2 ou x=−3, gerando os pontos (2,4) e (−3,9). 2) y=x² e y=1 ⇒ x²=1 ⇒ x=±1, pontos (1,1) e (−1,1). 3) y=6−x e y=1 ⇒ 6−x=1 ⇒ x=5, ponto (5,1).
Passo 3
As três regiões fechadas são: 1) R₁ entre y=x² e y=1 (arcada de parábola por baixo e reta horizontal por cima). 2) R₂ delimitada por y=x², y=6−x e y=1 (três lados: parábola, reta decrescente e reta horizontal). 3) R₃ entre y=x² e y=6−x (apenas parábola e reta, que se intersectam em x=−3 e x=2).
Passo 4
Para R₁: 0≤y≤1 ocorre em x∈[−1,1], e a área é ∫_{x=−1}^{1}(1−x²)dx. Calculando:
Passo 5
Para R₂: adotamos variação em y de 1 a 4; para cada y, x varia de x=√y (parábola) até x=6−y (reta). Logo
Passo 6
Para R₃: x varia de −3 a 2, e a área é a integral da diferença entre y=6−x (acima) e y=x² (abaixo):
$$\int_{x=-3}{2}\bigl((6-x)-x2\bigr),dx
=\Bigl[6x-\tfrac{x2}{2}-\tfrac{x3}{3}\Bigr]_{-3}^{2}=\tfrac{125}{6}.$$
Resposta
As áreas das três regiões são R₁=4/3, R₂=35/6 e R₃=125/6.