Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x, em cada um dos seguintes casos:
y=\sqrt[3]{x}, x=8 e y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por \;y=\sqrt[3]{x},\;x=8 e \;y=0.
O conteúdo matemático é o cálculo de volume de revolução pelo método dos discos, usando a fórmula
V=\int_{a}^{b}\pi\bigl[R(x)\bigr]^{2}dx,
onde R(x) é o raio do disco em cada x.

Passo 2

Primeiro, determinamos os limites de integração em x. A curva \;y=\sqrt[3]{x} intercepta \;y=0 em x=0. Como também temos a reta vertical x=8, a região corresponde a
0\le x\le 8,\quad 0\le y\le x^{1/3}.
Ao girar em torno do eixo x, cada seção perpendicular a esse eixo é um disco de raio
R(x)=y=x^{1/3}.

Passo 3

A área do disco de raio R(x) é
A(x)=\pi\bigl[R(x)\bigr]^{2} =\pi\bigl(x^{1/3}\bigr)^{2} =\pi\,x^{2/3}.

Passo 4

O volume do sólido é a integral das áreas de disco de x=0 a x=8:
V=\int_{0}^{8}A(x)\,dx =\pi\int_{0}^{8}x^{2/3}\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral de x^{2/3}:
\int x^{2/3}dx =\frac{x^{5/3}}{5/3} =\frac{3}{5}\,x^{5/3}.
Logo,
V =\pi\cdot\frac{3}{5}\Bigl[\,x^{5/3}\Bigr]_{0}^{8} =\frac{3\pi}{5}\bigl(8^{5/3}-0\bigr).
Como
8^{5/3}=(2^{3})^{5/3}=2^{5}=32,
segue que
V=\frac{3\pi}{5}\cdot32=\frac{96\pi}{5}.

Resposta

V=\frac{96\pi}{5}.

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