Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x, em cada um dos seguintes casos:
y=x^{2}+3 e y=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x^{2}+3 e y = 4 em torno do eixo x. O conteúdo envolve cálculo de volume pelo método dos discos (ou anéis), que consiste em integrar a área das seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, igualamos as curvas:
x^{2}+3 = 4 \Rightarrow x^{2} = 1, logo x = -1 e x = 1. Assim, a região vai de x=-1 a x=1.

Passo 3

Ao girar a região em torno do eixo x, cada seção em x é um anel de raio externo
R(x)=4
e raio interno
r(x)=x^{2}+3.
A área desse anel é
A(x)=\pi\bigl[R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr] =\pi\bigl[4^{2} - (x^{2}+3)^{2}\bigr].

Passo 4

O volume é dado pela integral das áreas de -1 a 1:
V = \int_{-1}^{1} A(x)\,dx = \pi \int_{-1}^{1}\bigl[16 - (x^{2}+3)^{2}\bigr]\,dx = \pi \int_{-1}^{1}\bigl[7 - 6x^{2} - x^{4}\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculando termo a termo:
\int_{-1}^{1}7\,dx = 14, \quad \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = \tfrac{2}{3}, \quad \int_{-1}^{1}x^{4}\,dx = \tfrac{2}{5}.
Substituindo,
V = \pi\Bigl[14 - 6\cdot\tfrac{2}{3} - \tfrac{2}{5}\Bigr] = \pi\Bigl[14 - 4 - \tfrac{2}{5}\Bigr] = \pi\Bigl[10 - \tfrac{2}{5}\Bigr] = \tfrac{48\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{48\pi}{5}

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