Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x, em cada um dos seguintes casos:
y=2 / x, y=0, x=1 e x=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por \,y=\tfrac{2}{x},\,y=0,\;x=1 e x=4 em torno do eixo x.
O conteúdo utilizado é o método dos discos, cuja fórmula geral é:
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx.

Passo 2

Para cada x\in[1,4], a região gira em torno do eixo x gerando um disco de raio
r(x)=f(x)=\frac{2}{x}
e espessura dx. Assim, o volume é
V = \pi \int_{1}^{4} \Bigl(\frac{2}{x}\Bigr)^{2} dx.

Passo 3

No integrando, \bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)^{2}=4\,x^{-2}. Logo
V = 4\pi \int_{1}^{4} x^{-2}\,dx.

Passo 4

A primitiva de x^{-2} é -x^{-1}. Portanto,
V = 4\pi \bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{4} =4\pi\Bigl(-\tfrac{1}{4}+1\Bigr) =4\pi\cdot\tfrac{3}{4} =3\pi.

Resposta

V = 3\pi

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