Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y, em cada um dos seguintes casos:
y=2 x^{2}, y=0 e x=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por
  • a parábola y=2x^2,
  • a reta y=0 (eixo x),
  • a reta vertical x=1.
    Este é um problema de volume por revolução; como giramos em torno de um eixo vertical e temos a função dada em termos de x, o método dos casquilhos cilíndricos (método das cascas) é o mais natural.

Passo 2

No método dos casquilhos cilíndricos, cada fatia vertical de espessura dx, localizada em x, gera um cilindro de
– raio igual a x,
– altura igual a y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}=2x^2-0=2x^2,
– espessura dx.
O volume desse casquilho é
dV = 2\pi \times (\text{raio}) \times (\text{altura}) \,dx = 2\pi \,x\,(2x^2)\,dx = 4\pi x^3\,dx.
Portanto, o volume total é
V = \int_{x=0}^{1} 4\pi x^3 \,dx.

Passo 3

Calculando a integral, temos
V = 4\pi \int_{0}^{1} x^3 \,dx = 4\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = 4\pi \cdot \frac{1}{4} = \pi.

Resposta

O volume do sólido gerado é \pi.

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