Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo indicado.
4. A região R é delimitada por y=e^{x}, y=1 e x=2. Eixo de rotação: eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x. A região R é delimitada por y=e^{x}, y=1 e x=2. Eixo de rotação: eixo x.

Passo 2

Vamos escolher um método para calcular o volume. Quando a rotação é em torno do eixo x e a região é descrita por alturas y em função de x, o método das lâminas (ou dos discos/aros) é direto e natural: cortamos o sólido em fatias finas perpendiculares ao eixo x, cada fatia é uma coroa circular (anel) cujo volume aproximado é a área da coroa vezes a espessura. Vou usar esse método porque ele aproveita as funções y(x) dadas e transforma o problema em uma integral simples em x.

Passo 3

Primeiro precisamos dos limites em x onde a região está definida. A região é limitada por y=e^{x} e por y=1. Os pontos onde essas curvas se encontram satisfazem e^{x}=1. Resolver isso:
e^{x}=1 \Rightarrow x=0.
Portanto, horizontalmente a região vai de x=0 até x=2. Para cada x em [0,2] a função e^{x} está acima de 1, então a região entre as duas curvas tem espessura vertical entre y=1 (embaixo) e y=e^{x} (embaixo de cima).

Passo 4

Ao girar a região em torno do eixo x, cada fatia em x gera uma coroa circular com:
  • raio externo R(x) igual à distância do eixo x até a curva mais distante do eixo, ou seja R(x)=e^{x};
  • raio interno r(x) igual à distância do eixo x até a curva mais próxima do eixo, ou seja r(x)=1.
Explicando por que: um ponto da curva com coordenada y ao girar em torno do eixo x descreve um círculo de raio y. Como a região vai de y=1 até y=e^{x}, o disco externo tem raio e^{x} e o buraco interno tem raio 1.

Passo 5

A área da seção transversal (da coroa) em x é a diferença entre as áreas dos dois discos:
A(x)=\pi\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)=\pi\bigl(e^{2x}-1\bigr).
O volume total é a integral dessa área ao longo de x de 0 a 2:
V=\int_{0}^{2} A(x)\,dx=\pi\int_{0}^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx.
Aqui usei o fato básico: uma fatia de espessura dx tem volume aproximado A(x)\,dx; no limite isso vira a integral.

Passo 6

Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro integramos termo a termo.
\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}, \qquad \int 1\,dx = x.
Portanto
\int_{0}^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx=\left[\frac{1}{2}e^{2x}-x\right]_{0}^{2}.
Avaliaremos nos limites:
\left(\frac{1}{2}e^{2\cdot 2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}e^{0}-0\right) =\frac{1}{2}e^{4}-2-\frac{1}{2}.
Somando os termos constantes -2-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{5}{2}, então
\int_{0}^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx=\frac{1}{2}e^{4}-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\bigl(e^{4}-5\bigr).
Multiplicando por \pi para obter o volume:
V=\pi\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{4}-5\bigr)=\frac{\pi}{2}\bigl(e^{4}-5\bigr).

Passo 7

Checagem rápida: e^{4}\approx 54{,}6, então e^{4}-5\approx 49{,}6>0, e o volume resultante é positivo, com valor aproximado V\approx \dfrac{\pi}{2}\cdot 49{,}6\approx 77{,}9. Está coerente em ordem de grandeza.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\bigl(e^{4}-5\bigr)

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