Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo indicado.
4. A região
é delimitada por
e
. Eixo de rotação: eixo
.
4. A região
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
. A região
é delimitada por
,
e
. Eixo de rotação: eixo
.
Passo 2
Vamos escolher um método para calcular o volume. Quando a rotação é em torno do eixo
e a região é descrita por alturas
em função de
, o método das lâminas (ou dos discos/aros) é direto e natural: cortamos o sólido em fatias finas perpendiculares ao eixo
, cada fatia é uma coroa circular (anel) cujo volume aproximado é a área da coroa vezes a espessura. Vou usar esse método porque ele aproveita as funções
dadas e transforma o problema em uma integral simples em
.
Passo 3
Primeiro precisamos dos limites em
onde a região está definida. A região é limitada por
e por
. Os pontos onde essas curvas se encontram satisfazem
. Resolver isso:
Portanto, horizontalmente a região vai de
até
. Para cada
em
a função
está acima de
, então a região entre as duas curvas tem espessura vertical entre
(embaixo) e
(embaixo de cima).
Passo 4
Ao girar a região em torno do eixo
, cada fatia em
gera uma coroa circular com:
- raio externo
igual à distância do eixo até a curva mais distante do eixo, ou seja ; - raio interno
igual à distância do eixo até a curva mais próxima do eixo, ou seja .
Explicando por que: um ponto da curva com coordenada
ao girar em torno do eixo
descreve um círculo de raio
. Como a região vai de
até
, o disco externo tem raio
e o buraco interno tem raio
.
Passo 5
A área da seção transversal (da coroa) em
é a diferença entre as áreas dos dois discos:
O volume total é a integral dessa área ao longo de
de
a
:
Aqui usei o fato básico: uma fatia de espessura
tem volume aproximado
; no limite isso vira a integral.
Passo 6
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro integramos termo a termo.
Portanto
Avaliaremos nos limites:
Somando os termos constantes
, então
Multiplicando por
para obter o volume:
Passo 7
Checagem rápida:
, então
, e o volume resultante é positivo, com valor aproximado
. Está coerente em ordem de grandeza.