Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo indicado.
3. A região
é delimitada pela curva
e pelo eixo
, para
. Eixo de rotação: eixo
.
3. A região
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
. As informações dadas são:
- A região
é limitada pela curva e pelo eixo . - O intervalo em
é . - O eixo de rotação é o eixo
.
Portanto, queremos o volume do sólido gerado pela rotação da região abaixo da curva(e acima do eixo ) para entre e .
Passo 2
Vamos pensar qual método usar. Quando uma região é girada em torno do eixo
e é descrita por
com
no intervalo, o método mais direto é o método dos discos (ou fatias perpendiculares ao eixo de rotação). A ideia é aproximar o sólido por muitos discos finos de espessura
. Cada disco tem raio igual à altura da região
e área da seção transversal
. Somando (integrando) essas áreas ao longo de
obtemos o volume. Isso é exatamente aplicável aqui porque
em
.
Passo 3
Escrevendo a fórmula do método dos discos: se a região é limitada por
e é girada em torno do eixo
para
, o volume é
Aqui
,
e
. Explicando as letras:
é o volume que queremos,
vem da área do círculo, e
é o quadrado do raio do disco em cada posição
.
Passo 4
Substituindo na fórmula, montamos o integral do volume:
Agora precisamos calcular o integral definido
.
Passo 5
Para integrar
usamos a identidade trigonométrica de redução:
Essa identidade é útil porque integra-se facilmente
. Substituindo no integral:
Passo 6
Calcule cada parte separadamente:
-
- Para
usamos a primitiva de , que é . Então
Portanto,
Passo 7
Voltando ao volume:
Não simplificamos mais nesta etapa; o produto acima é a expressão obtida a partir da integração.
Passo 8
Resumo do raciocínio para a prova (dica prática): identifique que a região está acima do eixo
, escolha discos, escreva
, substitua
, use a identidade
para integrar sem dificuldade — assim você faz rápido e sem calculadora.