Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo indicado.
3. A região R é delimitada pela curva y=\sin (x) e pelo eixo x, para 0 \leq x \leq \pi. Eixo de rotação: eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno do eixo x. As informações dadas são:
  • A região R é limitada pela curva y=\sin(x) e pelo eixo x.
  • O intervalo em x é 0 \leq x \leq \pi.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
    Portanto, queremos o volume do sólido gerado pela rotação da região abaixo da curva y=\sin(x) (e acima do eixo x) para x entre 0 e \pi.

Passo 2

Vamos pensar qual método usar. Quando uma região é girada em torno do eixo x e é descrita por y=f(x) com f(x)\ge 0 no intervalo, o método mais direto é o método dos discos (ou fatias perpendiculares ao eixo de rotação). A ideia é aproximar o sólido por muitos discos finos de espessura dx. Cada disco tem raio igual à altura da região y=f(x) e área da seção transversal \pi [f(x)]^2. Somando (integrando) essas áreas ao longo de x obtemos o volume. Isso é exatamente aplicável aqui porque y=\sin(x)\ge0 em [0,\pi].

Passo 3

Escrevendo a fórmula do método dos discos: se a região é limitada por y=f(x) e é girada em torno do eixo x para a\le x\le b, o volume é
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx.
Aqui f(x)=\sin(x), a=0 e b=\pi. Explicando as letras: V é o volume que queremos, \pi vem da área do círculo, e [f(x)]^2 é o quadrado do raio do disco em cada posição x.

Passo 4

Substituindo na fórmula, montamos o integral do volume:
V = \pi \int_{0}^{\pi} [\sin(x)]^{2}\,dx.
Agora precisamos calcular o integral definido \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x)\,dx.

Passo 5

Para integrar \sin^{2}(x) usamos a identidade trigonométrica de redução:
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Essa identidade é útil porque integra-se facilmente \cos(2x). Substituindo no integral:
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x)\,dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} 1\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \cos(2x)\,dx.

Passo 6

Calcule cada parte separadamente:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi} 1\,dx = [x]_{0}^{\pi} = \pi.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos(2x)\,dx usamos a primitiva de \cos(2x), que é \frac{1}{2}\sin(2x). Então
\int_{0}^{\pi} \cos(2x)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{2}\big(\sin(2\pi)-\sin(0)\big)=\tfrac{1}{2}(0-0)=0.
Portanto,
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x)\,dx = \frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}\cdot 0 = \frac{\pi}{2}.

Passo 7

Voltando ao volume:
V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x)\,dx = \pi \cdot \frac{\pi}{2}.
Não simplificamos mais nesta etapa; o produto acima é a expressão obtida a partir da integração.

Passo 8

Resumo do raciocínio para a prova (dica prática): identifique que a região está acima do eixo x, escolha discos, escreva V=\pi\int [\text{raio}]^2dx, substitua \text{raio}=\sin x, use a identidade \sin^{2}x=(1-\cos2x)/2 para integrar sem dificuldade — assim você faz rápido e sem calculadora.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{2}

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