Determine a solução geral da equação diferencial y \prime \prime-4 y \prime+13 y=0
Selecione a resposta:
A \quad \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}\left[\mathrm{C}_{1} \cos (2 \mathrm{x})+\mathrm{C}_{2} \operatorname{sen}(2 \mathrm{x})\right]
B \quad y(x)=e^{2 x}\left[C_{1} \cos (3 x)+C_{2} \operatorname{sen}(3 x)\right]
C \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1} \cos (2 \mathrm{x})+\mathrm{C}_{2} \operatorname{sen}(3 \mathrm{x})
D \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1} \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-4y'+13y=0.
Informações relevantes dadas:
  1. É uma equação linear homogênea de segunda ordem.
  2. Os coeficientes são constantes: 1 para y'', -4 para y' e 13 para y.
  3. Devemos escolher a solução geral correta entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo). Isso porque exponenciais têm a propriedade de que suas derivadas são múltiplos delas mesmas, o que simplifica a equação. Substituindo y=e^{rx} na equação, obtemos uma equação algébrica para r chamada equação característica.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx}. Calculando as derivadas:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx}.
Substituindo em y''-4y'+13y=0 e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero), obtemos
r^2-4r+13=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática para r usando a fórmula quadrática.

Passo 4

Calcule o discriminante e as raízes passo a passo:
\Delta = (-4)^2-4\cdot1\cdot13 = 16-52 = -36.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. Aplicando a fórmula
r=\frac{4\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}.
Usando \sqrt{-36}=6i (onde i é a unidade imaginária), temos
r=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i.

Passo 5

Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a forma geral da solução real é
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Essa fórmula vem da decomposição em partes real e imaginária da função e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)) (fórmula de Euler).

Passo 6

Aqui \alpha=2 e \beta=3. Aplicando a fórmula obtemos a solução geral
y(x)=e^{2x}\bigl(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)\bigr),
com C_{1},C_{2} constantes reais. Essa forma corresponde exatamente à alternativa B.

Resposta

B

Exercícios relacionados