Determine a solução geral da equação diferencial
Selecione a resposta:
A
B
C
D
Selecione a resposta:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações relevantes dadas:
- É uma equação linear homogênea de segunda ordem.
- Os coeficientes são constantes:
para , para e para . - Devemos escolher a solução geral correta entre as alternativas fornecidas.
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo). Isso porque exponenciais têm a propriedade de que suas derivadas são múltiplos delas mesmas, o que simplifica a equação. Substituindo
na equação, obtemos uma equação algébrica para
chamada equação característica.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
. Calculando as derivadas:
Substituindo em
e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos
Agora resolvemos essa equação quadrática para
usando a fórmula quadrática.
Passo 4
Calcule o discriminante e as raízes passo a passo:
Como
, as raízes são complexas. Aplicando a fórmula
Usando
(onde
é a unidade imaginária), temos
Passo 5
Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, a forma geral da solução real é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Essa fórmula vem da decomposição em partes real e imaginária da função
(fórmula de Euler).
Passo 6
Aqui
e
. Aplicando a fórmula obtemos a solução geral
com
constantes reais. Essa forma corresponde exatamente à alternativa B.
Resposta
B