Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do plano limitada pelas retas
e pelo círculo
O conteúdo principal aqui é a aplicação do Teorema de Pappus: ao girar uma região plana em torno de um eixo, o volume vale
onde
é a área da região e
é a ordenada (distância ao eixo
) do centróide dessa região.
Passo 2
Note que as duas retas passam pelo ponto
, que é justamente o centro do círculo de raio
. Logo, a região limitada é um setor circular de raio
centrado em
. Basta achar o ângulo do setor:
e
Usando a fórmula de diferença de arctan,
Passo 3
A área
de um setor de círculo de raio
e ângulo
vale
Passo 4
O centróide de um setor de raio
e ângulo
fica a uma distância do centro igual a
Aqui
e
resulta em
. Assim
O setor está centrado em
e seu bissetor forma ângulo médio
, logo a ordenada do centróide é
Passo 5
Pela Pappus,
Substituindo
, obtemos