Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por y=43 x+2, y=34 x+2 e x^2+(y-2)^2=25.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do plano limitada pelas retas
y=tfrac43x+2, y=tfrac34x+2
e pelo círculo
x^2+(y-2)^2=25
O conteúdo principal aqui é a aplicação do Teorema de Pappus: ao girar uma região plana em torno de um eixo, o volume vale
V = A cdot (2pi,yC),
onde A é a área da região e yC é a ordenada (distância ao eixo x) do centróide dessa região.

Passo 2

Note que as duas retas passam pelo ponto (0,2), que é justamente o centro do círculo de raio 5. Logo, a região limitada é um setor circular de raio R=5 centrado em (0,2). Basta achar o ângulo do setor:
theta1 = arctan!l(tfrac43r), theta2 = arctan!l(tfrac34r),
e
De<atheta = theta1 - theta2
Usando a fórmula de diferença de arctan,
De<atheta = arctan!l(tfrac43r)-arctan!l(tfrac34r) = arctan!l(tfrac4/3 - 3/41 + (4/3)(3/4)r) = arctan!l(tfrac724r)

Passo 3

A área A de um setor de círculo de raio R e ângulo De<atheta vale
A = tfrac12,R^2,De<atheta = tfrac12cdot25cdotDe<atheta = tfrac252,De<atheta

Passo 4

O centróide de um setor de raio R e ângulo De<atheta fica a uma distância do centro igual a
d = 2Rsin(tfracDe<atheta2)tfrac3De<atheta2 = 4Rsin(tfracDe<atheta2)3De<atheta
Aqui R=5 e
sin!l(tfracDe<atheta2r) = raiz1-cosDe<atheta2 com cosDe<atheta = 2425,
resulta em sin(De<atheta/2)=1/(5raiz2). Assim
d = 4cdot5cdot15raiz23,De<atheta = 4raiz2,13De<atheta = 2raiz23,De<atheta
O setor está centrado em (0,2) e seu bissetor forma ângulo médio
tfractheta1+theta22=tfracpi4, logo a ordenada do centróide é
yC = 2 + dsin!l(tfracpi4r) = 2 + 2raiz23,De<athetacdotraiz22 = 2 + 23,De<atheta

Passo 5

Pela Pappus,
V = Acdot(2pi,yC) = 252,De<atheta ;cdot;2pi!l(2 + 23,De<athetar) =25pil(2De<atheta + tfrac23r) =50pi,De<atheta + tfrac50pi3
Substituindo De<atheta=arctan(tfrac724), obtemos

Resposta

boxedV = 50pi,arctan!l(tfrac724r);+;tfrac50pi3

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