Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada por .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de a região limitada por
O método mais direto aqui é o dos discos (ou arruelas), usando integrais em . Vamos precisar achar o ponto de interseção de e para determinar os limites de integração, expressar os raios externo e interno em função de , montar a integral do volume e, finalmente, calculá-la.
Passo 2
Para achar onde note que . Logo
Assim a região fica para
e para cada a curva de cima é e a de baixo é .
Passo 3
Ao girar em torno de , para cada o raio externo é
e o raio interno é
O volume então é
Passo 4
A expressão dentro da integral simplifica-se via diferença de quadrados:
Note que
Além disso
Logo
Portanto
Passo 5
Calculemos
Sabemos que
Logo, definindo
temos
Passo 6
Avalie F em x=1 e em x=tfracraiz22:
Para x=1, arcsin1=tfracpi2 e raiz1-1=0, então