Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=-1, da região limitada por y=arccos x, y=arcsen x, x=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=-1 a região limitada por
y=arccos x, y=arcsin x, x=1
O método mais direto aqui é o dos discos (ou arruelas), usando integrais em x. Vamos precisar achar o ponto de interseção de arccos x e arcsin x para determinar os limites de integração, expressar os raios externo e interno em função de x, montar a integral do volume e, finalmente, calculá-la.

Passo 2

Para achar onde arccos x=arcsin x note que arccos x = tfracpi2 - arcsin x. Logo
arcsin x = tfracpi2 - arcsin x ;Longrightarrow; 2,arcsin x = tfracpi2 ;Longrightarrow; arcsin x = tfracpi4 ;Longrightarrow; x = sinl(tfracpi4r) = tfracraiz22
Assim a região fica para
xin l[tfracraiz22,,1r],
e para cada x a curva de cima é y=arcsin x e a de baixo é y=arccos x.

Passo 3

Ao girar em torno de y=-1, para cada x o raio externo é
R(x)=distância de y=arcsin x até y=-1 =arcsin x -(-1)=arcsin x +1, âé
e o raio interno é
r(x)=distância de y=arccos x até y=-1 =arccos x +1 âé
O volume então é
V = pi integralx=raiz22^1l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx

Passo 4

A expressão dentro da integral simplifica-se via diferença de quadrados:
R^2 - r^2 =(arcsin x +1)^2 - (arccos x +1)^2 =l[(arcsin x +1)-(arccos x +1)r]l[(arcsin x +1)+(arccos x +1)r]
Note que
(arcsin x +1)-(arccos x +1)=arcsin x - arccos x e (arcsin x +1)+(arccos x +1)=arcsin x + arccos x +2=tfracpi2+2
Além disso
arcsin x - arccos x = arcsin x - l(tfracpi2-arcsin xr) =2,arcsin x - tfracpi2
Logo
R^2 - r^2 = l(2,arcsin x - tfracpi2r)l(tfracpi2+2r)
Portanto
V = piintegralraiz22^1l(2,arcsin x - tfracpi2r)l(tfracpi2+2r),dx =pil(tfracpi2+2r)integralraiz22^1!l(2,arcsin x - tfracpi2r),dx

Passo 5

Calculemos
I = integral!l(2,arcsin x - tfracpi2r),dx =2integralarcsin x,dx ;-;tfracpi2integral dx
Sabemos que
integralarcsin x,dx = x,arcsin x + raiz1-x^2+C
Logo, definindo
F(x)=2l(x,arcsin x + raiz1-x^2r)-tfracpi2,x,
temos I=F(x)|x=raiz22^1

Passo 6

Avalie F em x=1 e em x=tfracraiz22:
Para x=1, arcsin1=tfracpi2 e raiz1-1=0, então
F(1)=2l(1cdottfracpi2+0r)-tfracpi2cdot1 =pi-tfracpi2=tfracpi2
Para x=tfracraiz22, arcsin(tfracraiz22)=tfracpi4 e raiz1-tfrac12=tfracraiz22, então
Fl(tfracraiz22r) =2l(tfracraiz22cdottfracpi4+tfracraiz22r) -tfracpi2cdottfracraiz22 =pitfracraiz24+raiz2-pitfracraiz24 =raiz2
Logo
I = F(1)-Fl(tfracraiz22r) =tfracpi2 - raiz2

Passo 7

Voltando ao volume,
V =pil(tfracpi2+2r),I =pil(tfracpi2+2r)l(tfracpi2-raiz2r)

Resposta

V = pil(tfracpi2+2r)l(tfracpi2-raiz2r)

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