Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x=1, da região limitada por y=|x^2-2 x-3|, y=-1, x=2, x=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=1, a região limitada por
y=l|x^2-2x-3r|, y=-1, x=2, x=4
O conteúdo usado será o método das cascas cilíndricas: para cada x entre 2 e 4, consideramos uma casca de raio x-1 e altura igual à diferença entre a curva e -1.

Passo 2

Primeiro determinamos onde x^2-2x-3 muda de sinal:
x^2-2x-3=0implies x=3 ou x=-1
No intervalo de interesse [2,4] isso ocorre em x=3. Logo
  • para 2<= x<=3, x^2-2x-3<0 e
    l|x^2-2x-3r|=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3.
  • para 3<= x<=4, x^2-2x-3>=0 e
    l|x^2-2x-3r|=x^2-2x-3.

Passo 3

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume é
V=2piintegral2^4l(raior)timesl(a<urar),dx =2piintegral2^4(x-1)l(l|x^2-2x-3r|-(-1)r),dx
Ou seja
V=2pigl[integral2^3(x-1)l((-x^2+2x+3)+1r),dx +integral3^4(x-1)l((x^2-2x-3)+1r),dxgr]

Passo 4

No trecho 2<= x<=3 a altura é -x^2+2x+3+1=-x^2+2x+4. Expandindo
(x-1)(-x^2+2x+4)=-x^3+3x^2+2x-4
Então
I1=integral2^3(-x^3+3x^2+2x-4),dx =l[-tfracx^44+x^3+x^2-4xr]2^3 =154

Passo 5

No trecho 3<= x<=4 a altura é x^2-2x-3+1=x^2-2x-2. Expandindo
(x-1)(x^2-2x-2)=x^3-3x^2+2
Logo
I2=integral3^4(x^3-3x^2+2),dx =l[tfracx^44-x^3+2xr]3^4 =354

Passo 6

Somando os dois trechos e multiplicando por 2pi, temos
V=2pil(I1+I2r) =2pil(tfrac154+tfrac354r) =2picdottfrac504 =25pi

Resposta

O volume do sólido é 25pi.

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