Exercício 9. Resolva a seguinte inequação.
ln (x^2-2 x-2) >= 0

Passo 1

O enunciado pede resolver lnl(x^2-2x-2r)>= 0. É uma inequação envolvendo logaritmo natural, então precisamos:
  1. Garantir o domínio, isto é, x^2-2x-2>0, pois o argumento do ln deve ser positivo.
  2. Usar que ln A>= 0 se, e somente se, A>= 1.

Passo 2

Determinamos o domínio pela inequação
x^2-2x-2>0
As raízes da equação x^2-2x-2=0 são
x = 2pmraiz4+82 = 1pmraiz3
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima, logo
x^2-2x-2>0 Long<=ftrightarrow x<1-raiz3ou x>1+raiz3

Passo 3

Agora impomos ln(x^2-2x-2)>=0, equivalente a
x^2-2x-2 ;>=; 1
ou seja
x^2-2x-3>=0
Resolvendo x^2-2x-3=0 obtemos as raízes
x=2pmraiz4+122=-1,,3
Novamente, como o coeficiente de x^2 é positivo, a solução é
x<= -1 ou x>= 3

Passo 4

A solução da inequação original é a interseção entre o domínio e a condição x<= -1 ou x>= 3. Observamos que
  • Se x<= -1 então x<1-raiz3 (pois -1<1-raiz3),
  • Se x>= 3 então x>1+raiz3 (pois 3>1+raiz3).
Portanto a solução final é
(-infty,-1];cup;[3,infty)

Resposta

(-infty,-1]cup[3,infty)

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