Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x=-5, da região limitada por y=x^2-6 x+13, y=x+3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=-5, a região entre as curvas
y = x^2 - 6x + 13
e
y = x + 3
O conteúdo que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, pois estamos girando em torno de uma reta vertical e é mais simples integrar em x.

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar onde as duas curvas se cruzam, resolvendo
x^2 - 6x + 13 = x + 3
Isso dá
x^2 - 7x + 10 = 0 Longrightarrow (x-2)(x-5)=0
logo as interseções ocorrem em x=2 e x=5.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, uma fatia vertical em x gera um cilindro de raio
raio = l|x -(-5)r| = x + 5,
altura
a<ura = l[,(x+3);-;(x^2-6x+13)r] = -x^2 +7x -10,
e espessura dx. O volume é
V = 2pi integralx=2^5 (raio)(a<ura),dx = 2pi integral2^5 (x+5)l(-x^2+7x-10r),dx

Passo 4

Vamos simplificar o integrando:
(x+5)l(-x^2+7x-10r) = -x^3+2x^2+25x-50
Então
V = 2pi integral2^5 l(-x^3+2x^2+25x-50r),dx

Passo 5

Calculemos a antiderivada:
integral l(-x^3+2x^2+25x-50r),dx = -x^44 + 2x^33 + 25x^22 - 50x
Avaliando de 2 a 5:
l[-tfracx^44 + tfrac2x^33 + tfrac25x^22 - 50xr]2^5 = 1534
Portanto
V = 2pi cdot 1534 = 153pi2

Resposta

V = 153pi2

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