Calcule o volume do sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0, x+y=1 e pelo cilindro z=1-y^{2}.

Passo 1

O problema pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos x=0, y=0, z=0, pela face inclinada x+y=1 e pela superfície cilíndrica z=1-y^2. Aqui usaremos cálculo de volume por integrais triplas, reduzindo primeiro a integral dupla sobre a projeção no plano xy.

Passo 2

A projeção D do sólido no plano xy é o triângulo definido por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad x+y\le1
e ainda precisamos de z\ge0, mas como z=1-y^2\ge0 implica y\le1, o triângulo já satisfaz isso. O volume é
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{topo}}-z_{\text{fundo}}\bigr)\,dA =\iint_{D}(1-y^2)\,dA.

Passo 3

Para montar a integral dupla, tomamos y de 0 a 1 e, para cada y, x vai de 0 a 1-y. Assim,
V = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y}(1-y^2)\,dx\,dy.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em x:
\int_{x=0}^{1-y}(1-y^2)\,dx =(1-y^2)\bigl[x\bigr]_{0}^{\,1-y} =(1-y^2)(1-y).

Passo 5

Agora integramos em y:
V = \int_{0}^{1}(1-y^2)(1-y)\,dy =\int_{0}^{1}\bigl(1 - y - y^2 + y^3\bigr)\,dy.
Calculando,
\int_{0}^{1}1\,dy = 1, \quad \int_{0}^{1}y\,dy = \tfrac12, \quad \int_{0}^{1}y^2\,dy = \tfrac13, \quad \int_{0}^{1}y^3\,dy = \tfrac14,
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V = 1 - \tfrac12 - \tfrac13 + \tfrac14 = \frac{12 - 6 - 4 + 3}{12} = \frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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