Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 \mathrm{e} \circ hiperbolóide x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte:
  • Calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro \,x^{2}+y^{2}=4\, e pelo hiperbolóide \,x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\,.
  • Informação útil extraída do enunciado:
    • A superfície do cilindro é o conjunto de pontos com \,x^{2}+y^{2}=4, ou seja, é um cilindro circular de raio \,2.
    • A superfície do hiperbolóide é dada por \,x^{2}+y^{2}-z^{2}=1, que pode ser rearranjada como \,z^{2}=x^{2}+y^{2}-1\,. Assim, para cada (x,y) com \,x^{2}+y^{2}\ge1\, existem dois valores de \,z, simétricos em torno de 0.
  • O que se pede: o volume da região limitada por essas duas superfícies (ou seja, a parte do espaço que fica ao mesmo tempo dentro do cilindro e “entre” as duas folhas do hiperbolóide).

Passo 2

Entendendo o domínio geométrico (sem ainda resolver):
  • No plano (x,y) as duas superfícies interagem pela coordenada radial \,r^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • O cilindro corresponde a \,r=2.
  • O hiperbolóide impõe \,z^{2}=r^{2}-1, que só tem solução real quando \,r^{2}\ge1, isto é, \,r\ge1. Para cada \,r\ge1 o \,z varia entre \,-\sqrt{r^{2}-1} e +\sqrt{r^{2}-1}.
  • Portanto a região comum e limitada por ambos é aquela com:
    • \,1\le r\le 2,
    • \,0\le \theta\le 2\pi (ângulo completo),
    • \,-\sqrt{r^{2}-1}\le z\le \sqrt{r^{2}-1}.
      Isso descreve um “tubo” circular (entre raios 1 e 2) com altura em z dada pela curva do hiperbolóide.

Passo 3

Escolha de coordenadas e justificativa (aula curta):
  • Sempre que houver simetria circular em (x,y) é muito mais prático usar coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
onde o fator extra r é o jacobiano da transformação — pense nele como a “área” do pequeno anel radial quando se passa de (dx\,dy) para (dr\,d\theta).
  • Aqui tudo depende só de r e z, com \theta variando de 0 a 2\pi, então cilíndricas são ideais.

Passo 4

Montagem da integral de volume (passo a passo):
  • Pelo que identificamos em

Passo 5

  • O volume é a integral tripla
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2}\int_{z=-\sqrt{r^{2}-1}}^{\sqrt{r^{2}-1}} r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Primeiro integramos em \,z. Como o integrando não depende de z, a integral em z simplesmente dá o comprimento do intervalo em z, que é 2\sqrt{r^{2}-1}. Logo a integral reduz para
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} r\cdot 2\sqrt{r^{2}-1}\,dr\,d\theta.
  • Fatorando constantes:
V = 2\int_{0}^{2\pi} d\theta\\ \int_{1}^{2} r\sqrt{r^{2}-1}\,2\,dr =4\pi \int_{1}^{2} r\sqrt{r^{2}-1}\,dr.
(Expliquei a passagem: \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, e o 2 da largura em z aparece multiplicando.)

Passo 6

Cálculo da integral em r (substituição e explicação didática):
  • Para calcular \displaystyle \int_{1}^{2} r\sqrt{r^{2}-1}\,dr use a substituição natural \,u=r^{2}-1. Então
du = 2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{2}.
  • Quando \,r=1 temos \,u=0. Quando \,r=2 temos \,u=3.
  • A integral fica
\int_{1}^{2} r\sqrt{r^{2}-1}\,dr = \int_{u=0}^{3} \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{3} u^{1/2}\,du.
  • Agora integramos potências: \displaystyle \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
  • Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{3} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{3} = \frac{1}{3}\,3^{3/2}.
  • Como 3^{3/2}=3\sqrt{3}, obtemos
\int_{1}^{2} r\sqrt{r^{2}-1}\,dr = \sqrt{3}.

Passo 7

Concluir o volume (juntando resultados):
  • Voltando à expressão para V:
V = 4\pi \int_{1}^{2} r\sqrt{r^{2}-1}\,dr = 4\pi \cdot \sqrt{3}.
  • Logo o volume do sólido pedido é \,4\pi\sqrt{3}.

Resposta

4\pi\sqrt{3}

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