Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
hiperbolóide
.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte:
- Calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelo hiperbolóide . - Informação útil extraída do enunciado:
- A superfície do cilindro é o conjunto de pontos com
, ou seja, é um cilindro circular de raio . - A superfície do hiperbolóide é dada por
, que pode ser rearranjada como . Assim, para cada com existem dois valores de , simétricos em torno de .
- A superfície do cilindro é o conjunto de pontos com
- O que se pede: o volume da região limitada por essas duas superfícies (ou seja, a parte do espaço que fica ao mesmo tempo dentro do cilindro e “entre” as duas folhas do hiperbolóide).
Passo 2
Entendendo o domínio geométrico (sem ainda resolver):
- No plano
as duas superfícies interagem pela coordenada radial . - O cilindro corresponde a
. - O hiperbolóide impõe
, que só tem solução real quando , isto é, . Para cada o varia entre e . - Portanto a região comum e limitada por ambos é aquela com:
-
, -
(ângulo completo), -
.
Isso descreve um “tubo” circular (entre raiose ) com altura em dada pela curva do hiperbolóide.
-
Passo 3
Escolha de coordenadas e justificativa (aula curta):
- Sempre que houver simetria circular em
é muito mais prático usar coordenadas cilíndricas: . - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
onde o fator extra
é o jacobiano da transformação — pense nele como a “área” do pequeno anel radial quando se passa de
para
.
- Aqui tudo depende só de
e , com variando de a , então cilíndricas são ideais.
Passo 4
Montagem da integral de volume (passo a passo):
- Pelo que identificamos em
Passo 5
- O volume é a integral tripla
- Primeiro integramos em
. Como o integrando não depende de , a integral em simplesmente dá o comprimento do intervalo em , que é . Logo a integral reduz para
- Fatorando constantes:
(Expliquei a passagem:
, e o
da largura em
aparece multiplicando.)
Passo 6
Cálculo da integral em
(substituição e explicação didática):
- Para calcular
use a substituição natural . Então
- Quando
temos . Quando temos . - A integral fica
- Agora integramos potências:
. - Portanto
- Como
, obtemos
Passo 7
Concluir o volume (juntando resultados):
- Voltando à expressão para
:
- Logo o volume do sólido pedido é
.