Calcule o volume do solido, D, determinado pelas inequações x^{2}+y^{2} \geq 1 \mathrm{e} 0 \leq z \leq 9-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes condições sobre o sólido D:
  • x^{2}+y^{2}\geq 1.
  • 0\leq z\leq 9-x^{2}-y^{2}.
O que é pedido:
  • Calcular o volume do sólido D.
Informações relevantes a listar (tiradas diretamente do enunciado):
  • A superfície superior é a paraboloide z=9-x^{2}-y^{2}.
  • A parte inferior é o plano z=0.
  • Na projeção sobre o plano xy o ponto deve satisfazer x^{2}+y^{2}\geq 1.
  • Além disso, como z\geq 0 e z=9-x^{2}-y^{2} é a cota superior, deve valer 9-x^{2}-y^{2}\geq 0, logo x^{2}+y^{2}\leq 9.
Portanto a projeção do sólido no plano xy é a região planar onde
1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e motivação (explicação didática).
  • Quando a região no plano xy é descrita por inequações envolvendo x^{2}+y^{2} (círculos, anéis), é muito natural usar coordenadas polares/cilíndricas porque a expressão x^{2}+y^{2} vira simplesmente r^{2}.
  • Nas coordenadas cilíndricas usa-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
onde o fator r vem do jacobiano da mudança de variáveis (uma explicação rápida: a pequena área no plano xy é aproximadamente um retângulo de lados dr e r\,d\theta, portanto dA=r\,dr\,d\theta; multiplicando por dz vem o volume).

Passo 3

Determinar os limites de integração na projeção (a região em r,\theta).
  • Da observação no Passo 1 temos 1 \le x^{2}+y^{2}\le 9. Em polares isto é
1 \le r^{2} \le 9 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le r \le 3,
pois r\ge 0.
  • O ângulo \theta percorre toda a volta no plano xy, então
0 \le \theta \le 2\pi.
  • Para cada (r,\theta) fixos, z varia de 0 até a superfície superior z=9-r^{2}, ou seja
0 \le z \le 9-r^{2}.

Passo 4

Montar a integral tripla do volume em coordenadas cilíndricas.
  • O volume é a integral da função constante 1 sobre D:
\text{Vol}(D)=\iiint_{D} 1\,dV.
  • Em cilíndricas isto fica
\text{Vol}(D)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{3}\int_{z=0}^{9-r^{2}} 1\cdot r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em z (passo-a-passo).
  • Integrando primeiro em z:
\int_{z=0}^{9-r^{2}} r\,dz = r\big[z\big]_{0}^{9-r^{2}} = r(9-r^{2}).
  • Assim a integral reduz-se a
\text{Vol}(D)=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3} r(9-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em r (desenvolvendo as contas).
  • Expandir o integrando:
r(9-r^{2}) = 9r - r^{3}.
  • Integrar em r:
\int_{1}^{3} (9r - r^{3})\,dr = \left[\frac{9r^{2}}{2} - \frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{3}.
  • Avaliar em r=3:
\frac{9\cdot 3^{2}}{2} - \frac{3^{4}}{4} = \frac{9\cdot 9}{2} - \frac{81}{4} = \frac{81}{2} - \frac{81}{4} = \frac{81}{4}.
  • Avaliar em r=1:
\frac{9\cdot 1^{2}}{2} - \frac{1^{4}}{4} = \frac{9}{2} - \frac{1}{4} = \frac{18-1}{4} = \frac{17}{4}.
  • Subtrair os dois resultados:
\int_{1}^{3} (9r - r^{3})\,dr = \frac{81}{4} - \frac{17}{4} = \frac{64}{4} = 16.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e obter o volume final.
  • Agora
\text{Vol}(D)=\int_{0}^{2\pi} 16\,d\theta = 16\big[\theta\big]_{0}^{2\pi} = 16\cdot 2\pi = 32\pi.
  • Resultado em forma numérica exata: \,32\pi\,.

Resposta

32\pi

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