Calcule o volume do solido,
, determinado pelas inequações
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes condições sobre o sólido
:
-
. -
.
O que é pedido:
- Calcular o volume do sólido
.
Informações relevantes a listar (tiradas diretamente do enunciado):
- A superfície superior é a paraboloide
. - A parte inferior é o plano
. - Na projeção sobre o plano
o ponto deve satisfazer . - Além disso, como
e é a cota superior, deve valer , logo .
Portanto a projeção do sólido no plano
é a região planar onde
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e motivação (explicação didática).
- Quando a região no plano
é descrita por inequações envolvendo (círculos, anéis), é muito natural usar coordenadas polares/cilíndricas porque a expressão vira simplesmente . - Nas coordenadas cilíndricas usa-se
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo polar.
- O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
onde o fator
vem do jacobiano da mudança de variáveis (uma explicação rápida: a pequena área no plano
é aproximadamente um retângulo de lados
e
, portanto
; multiplicando por
vem o volume).
Passo 3
Determinar os limites de integração na projeção (a região em
).
- Da observação no Passo 1 temos
. Em polares isto é
pois
.
- O ângulo
percorre toda a volta no plano , então
- Para cada
fixos, varia de até a superfície superior , ou seja
Passo 4
Montar a integral tripla do volume em coordenadas cilíndricas.
- O volume é a integral da função constante
sobre :
- Em cilíndricas isto fica
Passo 5
Calcular a integral interna em
(passo-a-passo).
- Integrando primeiro em
:
- Assim a integral reduz-se a
Passo 6
Calcular a integral em
(desenvolvendo as contas).
- Expandir o integrando:
- Integrar em
:
- Avaliar em
:
- Avaliar em
:
- Subtrair os dois resultados:
Passo 7
Calcular a integral em
e obter o volume final.
- Agora
- Resultado em forma numérica exata:
.