Calcule o volume do sólido limitado inferiormente pela superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 e inferiormente por z^{2}=3 x^{2}+3 y^{2}, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas duas superfícies e dá a restrição z\ge 0. As informações fornecidas são:
  • Superfície da esfera: \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=8.\n
  • Superfície dada por \;z^{2}=3x^{2}+3y^{2} com \;z\ge 0.\n
    O que se pede: calcular o volume do sólido que fica entre essas duas superfícies (a região em que, para cada ponto, z está entre a superfície do cone e a esfera, respeitando z\ge0).

Passo 2

Vamos entender geometricamente as superfícies e escolher coordenadas úteis (não vou pular etapas, explico tudo como se estivéssemos na prova).
  • A esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 é uma esfera de raio \sqrt{8}=2\sqrt{2} centrada na origem.
  • A equação \;z^{2}=3x^{2}+3y^{2} com z\ge0 pode ser reescrita isolando z:
z=\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto é um cone circular reto, com vértice na origem, abrindo para z positivo. Para esse tipo de região (esfera centrada na origem e cone com eixo no eixo z) é muito conveniente usar coordenadas esféricas, porque:
  • Na coordenada esférica as superfícies simples (esfera e cone) correspondem a equações simples: a esfera é \rho= constante e o cone corresponde a \varphi= constante.
    Agora explico o sistema esférico e a fórmula do volume:
  • Em coordenadas esféricas usa-se as variáveis \rho (distância à origem), \varphi (ângulo entre o raio e o eixo z, chamado colatitude) e \theta (ângulo em torno do eixo z). As relações com as coordenadas cartesianas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
que é o jacobiano da transformação para esféricas. Vou usar essa fórmula explicitamente no integral.

Passo 3

Agora traduzimos as superfícies para esféricas para obter os limites de integração.
  • A esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 vira simplesmente
\rho^{2}=8\quad\Rightarrow\quad \rho=2\sqrt{2}.
  • O cone \;z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em esféricas z=\rho\cos\varphi e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi. Substituindo:
\rho\cos\varphi=\sqrt{3}\,\rho\sin\varphi.
Como \rho>0 (exceto na origem), podemos cancelar \rho e obter
\cos\varphi=\sqrt{3}\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \cot\varphi=\sqrt{3}.
Isto dá
\tan\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}} \quad\Rightarrow\quad \varphi=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}.
Interpretação dos limites:
  • \theta percorre a volta completa: \;0\le\theta\le 2\pi.
  • \varphi fica entre o eixo positivo z (central) e o cone, ou seja \;0\le\varphi\le\frac{\pi}{6}. Isso representa a região acima do cone (porque ângulos menores significam direções mais próximas ao eixo z).
  • Para cada direção (\varphi,\theta) nessa faixa, \rho vai do vértice na origem até a esfera: \;0\le\rho\le 2\sqrt{2}.

Passo 4

Montando o integral triple em esféricas para o volume V:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/6}\int_{\rho=0}^{2\sqrt{2}}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Agora calculamos passo a passo, integrando primeiro em \rho:
\int_{0}^{2\sqrt{2}}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{2\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2})^{3}}{3}.
Calculemos (2\sqrt{2})^{3} sem pular etapas:
(2\sqrt{2})^{3}=2^{3}\,(\sqrt{2})^{3}=8\cdot(\sqrt{2})^{2}\cdot\sqrt{2}=8\cdot 2\cdot\sqrt{2}=16\sqrt{2}.
Portanto a parte em \rho vale \dfrac{16\sqrt{2}}{3}.
Agora o integral fica
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\frac{16\sqrt{2}}{3}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Tirando constantes fora:
V=\frac{16\sqrt{2}}{3}\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi\right).
Calcule cada integral:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi=\left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi/6}=1-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right).
Sabendo que \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
\int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}.
Agora juntando tudo:
V=\frac{16\sqrt{2}}{3}\cdot 2\pi\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2}.
Simplificando o fator 2 no numerador com o denominador:
V=\frac{16\sqrt{2}}{3}\cdot \pi\cdot(2-\sqrt{3})=\frac{16\sqrt{2}\pi}{3}\,(2-\sqrt{3}).

Passo 5

Breve verificação conceitual (rápida e prática para a prova): se quisesse usar coordenadas cilíndricas daria para obter o mesmo resultado (intersecção esfera-cone dá r=\sqrt{2} e z=\sqrt{6}) e integrar r em r e z, mas em prova geralmente esféricas é mais curto quando aparece um cone simples e uma esfera centrada na origem. Está coerente numericamente e dimensionalmente.

Resposta

\displaystyle V=\frac{16\sqrt{2}\pi}{3}\,(2-\sqrt{3})

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