Calcule o volume do sólido limitado inferiormente pela superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 e inferiormente por z^{2}=3 x^{2}+3 y^{2}, z \geq 0.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas duas superfícies e dá a restrição z\ge 0. As informações fornecidas são:
Superfície da esfera: \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=8.\n
Superfície dada por \;z^{2}=3x^{2}+3y^{2} com \;z\ge 0.\n
O que se pede: calcular o volume do sólido que fica entre essas duas superfícies (a região em que, para cada ponto, z está entre a superfície do cone e a esfera, respeitando z\ge0).
Passo 2
Vamos entender geometricamente as superfícies e escolher coordenadas úteis (não vou pular etapas, explico tudo como se estivéssemos na prova).
A esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 é uma esfera de raio \sqrt{8}=2\sqrt{2} centrada na origem.
A equação \;z^{2}=3x^{2}+3y^{2} com z\ge0 pode ser reescrita isolando z:
z=\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto é um cone circular reto, com vértice na origem, abrindo para z positivo. Para esse tipo de região (esfera centrada na origem e cone com eixo no eixo z) é muito conveniente usar coordenadas esféricas, porque:
Na coordenada esférica as superfícies simples (esfera e cone) correspondem a equações simples: a esfera é \rho= constante e o cone corresponde a \varphi= constante.
Agora explico o sistema esférico e a fórmula do volume:
Em coordenadas esféricas usa-se as variáveis \rho (distância à origem), \varphi (ângulo entre o raio e o eixo z, chamado colatitude) e \theta (ângulo em torno do eixo z). As relações com as coordenadas cartesianas são
\theta percorre a volta completa: \;0\le\theta\le 2\pi.
\varphi fica entre o eixo positivo z (central) e o cone, ou seja \;0\le\varphi\le\frac{\pi}{6}. Isso representa a região acima do cone (porque ângulos menores significam direções mais próximas ao eixo z).
Para cada direção (\varphi,\theta) nessa faixa, \rho vai do vértice na origem até a esfera: \;0\le\rho\le 2\sqrt{2}.
Passo 4
Montando o integral triple em esféricas para o volume V:
Breve verificação conceitual (rápida e prática para a prova): se quisesse usar coordenadas cilíndricas daria para obter o mesmo resultado (intersecção esfera-cone dá r=\sqrt{2} e z=\sqrt{6}) e integrar r em r e z, mas em prova geralmente esféricas é mais curto quando aparece um cone simples e uma esfera centrada na origem. Está coerente numericamente e dimensionalmente.