Determine o volume do sólido limitado pela superfície
e os planos
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A superfície que limita o sólido é
. - O sólido é limitado verticalmente pelos planos
e . - A pergunta é: determinar o volume do sólido limitado por essas superfícies (ou seja, o volume da região situada entre
e e contida pela superfície dada).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação do porquê): como as superfícies que limitam em cima e embaixo são planos horizontais
constante, é natural fatiar o sólido por planos paralelos a
(planos
constante). Cada fatia a uma altura fixa
é uma região no plano
; vamos encontrar a área dessa fatia e integrar em
. Esta é a técnica de “slicing” (discos/capas), que costuma ser a forma mais direta quando as bases são círculos que variam com
.
Passo 3
Encontrar a seção transversal em uma altura genérica
.
A equação da superfície pode ser rearranjada para isolar a parte em :
A equação da superfície pode ser rearranjada para isolar a parte em
Isto mostra que, para um
fixo, a interseção com o plano
constante é um disco (círculo preenchido) de raio
Aqui
é o raio da seção transversal no plano
.
Passo 4
Área da seção transversal e elemento de volume.
A área de um disco de raio é
. Então a área da seção à altura
é
A área de um disco de raio
O elemento de volume correspondente a uma fatia de espessura infinitesimal
é
Portanto o volume total é a integral dessa área ao longo de
entre os planos dados.
Passo 5
Montar e calcular a integral do volume.
Fatorando
para fora da integral:
Usar as regras básicas de integração:
e
. Assim,
Calcular
, então
Multiplicando por
obtemos o valor do volume.
Passo 6
(Finalização e checagem rápida) O resultado da integração deu
para a parte sem o
, então o volume é
vezes isso. Como checagem, poderia também-se montar a integral em coordenadas cilíndricas com
variando de
a
e
de
a
; essa integral conduz à mesma expressão
, confirmando a consistência.