Determine o volume do sólido limitado pela superfície x^{2}+y^{2}-z^{2}=1 e os planos z=0 e z=\sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A superfície que limita o sólido é x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.
  • O sólido é limitado verticalmente pelos planos z=0 e z=\sqrt{3}.
  • A pergunta é: determinar o volume do sólido limitado por essas superfícies (ou seja, o volume da região situada entre z=0 e z=\sqrt{3} e contida pela superfície dada).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação do porquê): como as superfícies que limitam em cima e embaixo são planos horizontais z= constante, é natural fatiar o sólido por planos paralelos a xy (planos z= constante). Cada fatia a uma altura fixa z é uma região no plano xy; vamos encontrar a área dessa fatia e integrar em z. Esta é a técnica de “slicing” (discos/capas), que costuma ser a forma mais direta quando as bases são círculos que variam com z.

Passo 3

Encontrar a seção transversal em uma altura genérica z.
A equação da superfície pode ser rearranjada para isolar a parte em x,y:
x^{2}+y^{2}=1+z^{2}.
Isto mostra que, para um z fixo, a interseção com o plano z= constante é um disco (círculo preenchido) de raio
R(z)=\sqrt{1+z^{2}}.
Aqui R(z) é o raio da seção transversal no plano z.

Passo 4

Área da seção transversal e elemento de volume.
A área de um disco de raio R é \pi R^{2}. Então a área da seção à altura z é
A(z)=\pi \bigl(R(z)\bigr)^{2}=\pi\bigl(1+z^{2}\bigr).
O elemento de volume correspondente a uma fatia de espessura infinitesimal dz é
dV = A(z)\,dz = \pi\bigl(1+z^{2}\bigr)\,dz.
Portanto o volume total é a integral dessa área ao longo de z entre os planos dados.

Passo 5

Montar e calcular a integral do volume.
V=\int_{z=0}^{z=\sqrt{3}} A(z)\,dz =\int_{0}^{\sqrt{3}} \pi\bigl(1+z^{2}\bigr)\,dz.
Fatorando \pi para fora da integral:
V=\pi\int_{0}^{\sqrt{3}} \bigl(1+z^{2}\bigr)\,dz.
Usar as regras básicas de integração: \displaystyle\int 1\,dz = z e \displaystyle\int z^{2}\,dz = \frac{z^{3}}{3}. Assim,
\int_{0}^{\sqrt{3}} \bigl(1+z^{2}\bigr)\,dz =\left[z+\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{3}} =\left(\sqrt{3}+\frac{(\sqrt{3})^{3}}{3}\right)-\left(0+\frac{0^{3}}{3}\right).
Calcular (\sqrt{3})^{3} = 3\sqrt{3}, então
\sqrt{3}+\frac{(\sqrt{3})^{3}}{3}=\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
Multiplicando por \pi obtemos o valor do volume.

Passo 6

(Finalização e checagem rápida) O resultado da integração deu 2\sqrt{3} para a parte sem o \pi, então o volume é \pi vezes isso. Como checagem, poderia também-se montar a integral em coordenadas cilíndricas com r variando de 0 a \sqrt{1+z^{2}} e \theta de 0 a 2\pi; essa integral conduz à mesma expressão \pi\int_{0}^{\sqrt{3}} (1+z^{2})\,dz, confirmando a consistência.

Resposta

2\sqrt{3}\pi

Exercícios relacionados