a) Calcule o volume do sólido limitado por \mathrm{z}=\mathrm{x}^{2} +\mathrm{y}^{2} e pelos planos \mathrm{x}=0, \mathrm{x}=3, \mathrm{y}=0 e \mathrm{y}=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A superfície que limita o sólido por cima é z = x^{2}+y^{2}.
  • O sólido é limitado também pelos planos verticais (ou retas no plano xy) \;x=0,\;x=3,\;y=0,\;y=1.
  • Em outras palavras, a região de projeção no plano xy é o retângulo
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\;0\le y\le 1\}.
  • O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado por essa superfície e por esses planos (ou seja, o volume abaixo de z=x^{2}+y^{2} sobre R).

Passo 2

Ideia usada (intuição e definição prática):
  • Para um sólido que está acima de uma região R no plano xy e abaixo de uma superfície z=f(x,y) com f\ge 0, o volume é dado pela integral dupla da função sobre R:
\text{Volume}=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
  • Aqui f(x,y)=x^{2}+y^{2}. O diferencial dA representa uma pequena área no plano xy. A integral dupla soma as “pequenas colunas” de altura f(x,y) sobre cada pequena área, dando o volume total.
  • Como R é um retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada (uma integral simples seguida da outra).

Passo 3

Escolha da ordem de integração e montagem da integral iterada:
  • Vou integrar primeiro em y (de 0 a 1) e depois em x (de 0 a 3). Para retângulos isso é conveniente e direto.
  • A integral que representa o volume fica:
\text{Volume}=\int_{x=0}^{3}\!\int_{y=0}^{1} (x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.

Passo 4

Integração interna (integrar em y mantendo x fixo):
  • Quando integramos em y, tratamos x como constante. Usamos as regras básicas de primitivação:
    • \displaystyle \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3},
    • \displaystyle \int x^{2}\,dy = x^{2}y (porque x^{2} é constante em relação a y).
  • Portanto a primitiva em y de x^{2}+y^{2} é
\int (x^{2}+y^{2})\,dy = x^{2}y + \frac{y^{3}}{3}.
  • Avaliando nos limites y=0 e y=1 obtemos a função de x que resta para integrar:
\left[ x^{2}y + \frac{y^{3}}{3} \right]_{y=0}^{y=1} = x^{2}\cdot 1 + \frac{1^{3}}{3} - (0+0) = x^{2} + \frac{1}{3}.

Passo 5

Integração externa (integrar em x de 0 a 3):
  • Agora integramos a função x^{2}+\dfrac{1}{3} em x.
  • Regras usadas:
    • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},
    • \displaystyle \int \frac{1}{3}\,dx = \frac{1}{3}x.
  • A primitiva em x é
\int \left(x^{2}+\frac{1}{3}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{3}.
  • Avaliando nos limites x=0 e x=3 obtemos
\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}\right]_{0}^{3} = \left(\frac{3^{3}}{3}+\frac{3}{3}\right) - (0+0) = \left(\frac{27}{3}+\frac{3}{3}\right) = 9 + 1.

Passo 6

Simplificação final e verificação rápida:
  • A expressão 9+1 simplifica para 10.
  • (Verificação alternativa rápida: se em vez de integrar em y primeiro integrássemos em x primeiro receberíamos o mesmo resultado; isto confirma que a aplicação de Fubini está correta.)

Resposta

10

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