a) Calcule o volume do sólido limitado por
e pelos planos
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A superfície que limita o sólido por cima é
. - O sólido é limitado também pelos planos verticais (ou retas no plano
) . - Em outras palavras, a região de projeção no plano
é o retângulo
- O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado por essa superfície e por esses planos (ou seja, o volume abaixo de
sobre ).
Passo 2
Ideia usada (intuição e definição prática):
- Para um sólido que está acima de uma região
no plano e abaixo de uma superfície com , o volume é dado pela integral dupla da função sobre :
- Aqui
. O diferencial representa uma pequena área no plano . A integral dupla soma as “pequenas colunas” de altura sobre cada pequena área, dando o volume total. - Como
é um retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada (uma integral simples seguida da outra).
Passo 3
Escolha da ordem de integração e montagem da integral iterada:
- Vou integrar primeiro em
(de a ) e depois em (de a ). Para retângulos isso é conveniente e direto. - A integral que representa o volume fica:
Passo 4
Integração interna (integrar em
mantendo
fixo):
- Quando integramos em
, tratamos como constante. Usamos as regras básicas de primitivação: -
, -
(porque é constante em relação a ).
-
- Portanto a primitiva em
de é
- Avaliando nos limites
e obtemos a função de que resta para integrar:
Passo 5
Integração externa (integrar em
de
a
):
- Agora integramos a função
em . - Regras usadas:
-
, -
.
-
- A primitiva em
é
- Avaliando nos limites
e obtemos
Passo 6
Simplificação final e verificação rápida:
- A expressão
simplifica para . - (Verificação alternativa rápida: se em vez de integrar em
primeiro integrássemos em primeiro receberíamos o mesmo resultado; isto confirma que a aplicação de Fubini está correta.)