f(x, y)=x^{2} y
onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x \leq 3 e \frac{1}{x} \leq y \leq \sqrt{x}\right\}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=x^{2}y
e a região
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\\\ 1\le x\le 3\\ \text{e}\\ \tfrac{1}{x}\le y\le \sqrt{x}\}.
A pergunta implícita e típica para esse tipo de exercício é: calcular a integral dupla de f sobre D, ou seja
\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo de x é fechado e simples: 1\le x\le 3.
  • Para cada x fixo em [1,3], y varia entre as funções y=\tfrac{1}{x} (inferior) e y=\sqrt{x} (superior).
  • A função a integrar é x^{2}y, que é contínua na região dada (logo integrável).

Passo 2

Entendendo o que é fazer essa integral (pequena aula):
  • A integral dupla \iint_{D} f(x,y)\,dA mede, geometricamente, o “volume” sob a superfície z=f(x,y) sobre a região D.
  • Pelo Teorema de Fubini, se f é contínua em D e D for um domínio do tipo “vertical” (isto é, x entre constantes e y entre duas funções de x), então podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada:
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x,y)\,dy\right) dx,
onde a e b são as fronteiras em x, e g_{1}(x),g_{2}(x) são as fronteiras em y.
  • No nosso caso, a=1, b=3, g_{1}(x)=\tfrac{1}{x} e g_{2}(x)=\sqrt{x}. Portanto, devemos montar uma integral iterada com dy primeiro e depois dx.

Passo 3

Montando a integral iterada usando os limites dados:
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{x=1}^{3}\left(\int_{y=\tfrac{1}{x}}^{\sqrt{x}} x^{2}y\,dy\right) dx.
Observação sobre notação e por quê dessa ordem: como os limites de y são funções de x, a forma natural é integrar em y primeiro para usar esses limites diretamente. A variável x é tratada como constante quando integrarmos em y.

Passo 4

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{\tfrac{1}{x}}^{\sqrt{x}} x^{2}y\,dy:
  • Tratando x como constante, x^{2} sai da integração em y. A primitive de y em relação a y é \tfrac{1}{2}y^{2}. Logo,
\int_{\tfrac{1}{x}}^{\sqrt{x}} x^{2}y\,dy = x^{2}\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{y=\tfrac{1}{x}}^{y=\sqrt{x}}.
  • Avaliando os limites:
x^{2}\left(\tfrac{1}{2}(\sqrt{x})^{2} - \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{x}\right)^{2}\right) = x^{2}\left(\tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{x^{2}}\right).
  • Distribuindo x^{2}:
x^{2}\left(\tfrac{1}{2}x\right) - x^{2}\left(\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{x^{2}}\right) = \tfrac{1}{2}x^{3} - \tfrac{1}{2}.
  • Portanto a integral interna resulta em \tfrac{1}{2}x^{3}-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x de 1 a 3:
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{1}^{3}\left(\tfrac{1}{2}x^{3}-\tfrac{1}{2}\right) dx = \tfrac{1}{2}\int_{1}^{3} (x^{3}-1)\,dx.
Calcule a integral:
\int (x^{3}-1)\,dx = \frac{x^{4}}{4}-x.
Avaliar de 1 a 3:
\left[\frac{x^{4}}{4}-x\right]_{1}^{3} = \left(\frac{3^{4}}{4}-3\right) - \left(\frac{1^{4}}{4}-1\right).
Calcule passo a passo:
  • \dfrac{3^{4}}{4}-3 = \dfrac{81}{4}-\dfrac{12}{4}=\dfrac{69}{4}.
  • \dfrac{1^{4}}{4}-1 = \dfrac{1}{4}-\dfrac{4}{4}=-\dfrac{3}{4}.
  • Diferença: \dfrac{69}{4}-\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{72}{4}=18.
    Agora multiplica pelo fator \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\cdot 18 = 9.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • O resultado \iint_{D} x^{2}y\,dA = 9 é um número positivo, coerente com f(x,y)=x^{2}y ser não-negativa em D (pois x\ge 1>0 e y\ge\tfrac{1}{x}>0).
  • Como checagem alternativa, poderia-se tentar trocar a ordem de integração (integrar em x primeiro), mas isso exigiria descrever D como conjunto de pontos com y entre constantes e x entre duas funções de y, o que complica um pouco; a ordem escolhida foi a mais direta.

Resposta

9

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