onde
Passo 1
O enunciado fornece a função
e a região
A pergunta implícita e típica para esse tipo de exercício é: calcular a integral dupla de
sobre
, ou seja
Informações relevantes dadas:
- O intervalo de
é fechado e simples: . - Para cada
fixo em , varia entre as funções (inferior) e (superior). - A função a integrar é
, que é contínua na região dada (logo integrável).
Passo 2
Entendendo o que é fazer essa integral (pequena aula):
- A integral dupla
mede, geometricamente, o “volume” sob a superfície sobre a região . - Pelo Teorema de Fubini, se
é contínua em e for um domínio do tipo “vertical” (isto é, entre constantes e entre duas funções de ), então podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada:
onde
e
são as fronteiras em
, e
são as fronteiras em
.
- No nosso caso,
, , e . Portanto, devemos montar uma integral iterada com primeiro e depois .
Passo 3
Montando a integral iterada usando os limites dados:
Observação sobre notação e por quê dessa ordem: como os limites de
são funções de
, a forma natural é integrar em
primeiro para usar esses limites diretamente. A variável
é tratada como constante quando integrarmos em
.
Passo 4
Calcular a integral interna
:
- Tratando
como constante, sai da integração em . A primitive de em relação a é . Logo,
- Avaliando os limites:
- Distribuindo
:
- Portanto a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Calcule a integral:
Avaliar de
a
:
Calcule passo a passo:
-
-
- Diferença:
Agora multiplica pelo fator:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- O resultado
é um número positivo, coerente com ser não-negativa em (pois e ). - Como checagem alternativa, poderia-se tentar trocar a ordem de integração (integrar em
primeiro), mas isso exigiria descrever como conjunto de pontos com entre constantes e entre duas funções de , o que complica um pouco; a ordem escolhida foi a mais direta.