Calcule \iiint_{D} x^{2} y, onde D=\{(x, y, z) / 0 \leq z \leq \pi / 2,0 \leq y \leq a, 0 \leq x \leq y \cos z\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{D} x^{2}y\,dV
no domínio D definido por
  • 0 \le z \le \dfrac{\pi}{2},
  • 0 \le y \le a,
  • 0 \le x \le y\cos z.
Informações relevantes dadas:
  • A variável a aparece como limite superior de y. Como há a condição 0\le y\le a, é natural assumir \,a\ge 0.
  • O integrando é x^{2}y.
  • Os limites de x dependem de y e z; os limites de y dependem apenas de a; os limites de z são constantes.

Passo 2

Vamos escrever a integral como uma integral iterada na ordem dx\,dy\,dz, pois os limites estão expressos justamente nessa forma (o limite de x é função de y e z, os de y e z são independentes):
\iiint_{D} x^{2}y\,dV = \int_{z=0}^{\pi/2}\int_{y=0}^{a}\int_{x=0}^{y\cos z} x^{2}y \,dx\,dy\,dz.
Explicando rapidamente: uma integral tripla sobre um conjunto dado por desigualdades aninhadas pode ser calculada como uma integral iterada, integrando primeiro na variável cujo limite depende das outras (aqui x), depois na próxima ( y) e por fim na última ( z).

Passo 3

Primeira integração: integrar em x mantendo y e z fixos.
Lembra a regra básica de integrais de potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aqui queremos \int x^{2}y\,dx. Como y é constante em relação a x, podemos fatorá-lo:
\int_{0}^{y\cos z} x^{2}y\,dx = y\int_{0}^{y\cos z} x^{2}\,dx = y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{y\cos z}.
Avaliando nos limites:
y\cdot\frac{(y\cos z)^{3}}{3} =\frac{1}{3}\,y\cdot y^{3}\cos^{3}z =\frac{1}{3}\,y^{4}\cos^{3}z.

Passo 4

Segunda integração: integrar em y o resultado \dfrac{1}{3}y^{4}\cos^{3}z, onde \cos^{3}z é constante em relação a y.
Aplicando a fórmula de potência novamente:
\int_{0}^{a} \frac{1}{3}y^{4}\cos^{3}z\,dy =\frac{1}{3}\cos^{3}z\int_{0}^{a} y^{4}\,dy =\frac{1}{3}\cos^{3}z\left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{a}.
Portanto
\int_{0}^{a} \frac{1}{3}y^{4}\cos^{3}z\,dy =\frac{1}{3}\cos^{3}z\cdot\frac{a^{5}}{5} =\frac{1}{15}a^{5}\cos^{3}z.

Passo 5

Terceira integração: integrar em z o fator \dfrac{1}{15}a^{5}\cos^{3}z.
Fatorando constantes:
\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{15}a^{5}\cos^{3}z\,dz =\frac{1}{15}a^{5}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}z\,dz.
Agora calcular \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}z\,dz. Use a identidade \cos^{3}z=\cos z(1-\sin^{2}z), e faça a substituição u=\sin z, du=\cos z\,dz:
\int \cos^{3}z\,dz =\int \cos z(1-\sin^{2}z)\,dz =\int (1-u^{2})\,du = u-\frac{u^{3}}{3}+C = \sin z-\frac{\sin^{3}z}{3}+C.
Avalia-se de 0 a \pi/2:
\left[\sin z-\frac{\sin^{3}z}{3}\right]_{0}^{\pi/2} =\left(1-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(0-\frac{0}{3}\right) =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}z\,dz=\frac{2}{3}.
Voltando ao fator anterior:
\frac{1}{15}a^{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{45}a^{5}.

Passo 6

Conclusão: a integral tripla sobre D vale \dfrac{2}{45}a^{5}. Pequeno cheque mental: as etapas usaram regras padrão (integração de potências e substituição simples), e os limites estão coerentes com a\ge 0.

Resposta

\dfrac{2}{45}a^{5}

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