Vamos usar um raciocínio elementar e rigoroso: mostrar que todos os termos que dependem de x e y vão para 0 quando (x,y)\to(0,0), ficando apenas o termo constante 2. Uma ferramenta útil é medir a distância ao ponto (0,0) com
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui r é o tamanho do vetor (x,y). Observação simples: se r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} então tem-se
|x|\le r\qquad\text{e}\qquad |y|\le r,
porque x^{2}\le x^{2}+y^{2} e y^{2}\le x^{2}+y^{2}. Isso é importante porque nos permite trocar x e y por r em desigualdades — e controlar todas as potências.
Passo 3
Estimamos o valor absoluto da parte não-constante:
(Faço também uma prova do tipo épsilon–delta, para ficar bem rigoroso e para você poder usar em provas.) Seja \varepsilon>0. Se r<1 então r^{3}\le r^{2}, logo da desigualdade da etapa 3 temos