\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{3}+2 x^{2} y-y^{2}+2\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando (x,y) tende a (0,0) da função
x^{3}+2x^{2}y-y^{2}+2.
Informações dadas: a expressão é um polinômio em x e y com um termo constante 2 e termos que envolvem potências de x e y. O que se exige: calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{3}+2x^{2}y-y^{2}+2\bigr).

Passo 2

Vamos usar um raciocínio elementar e rigoroso: mostrar que todos os termos que dependem de x e y vão para 0 quando (x,y)\to(0,0), ficando apenas o termo constante 2. Uma ferramenta útil é medir a distância ao ponto (0,0) com
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui r é o tamanho do vetor (x,y). Observação simples: se r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} então tem-se
|x|\le r\qquad\text{e}\qquad |y|\le r,
porque x^{2}\le x^{2}+y^{2} e y^{2}\le x^{2}+y^{2}. Isso é importante porque nos permite trocar x e y por r em desigualdades — e controlar todas as potências.

Passo 3

Estimamos o valor absoluto da parte não-constante:
\bigl|x^{3}+2x^{2}y-y^{2}\bigr|\le |x|^{3}+2|x|^{2}|y|+|y|^{2}.
Agora usamos as desigualdades da etapa anterior ( |x|\le r, |y|\le r) para obter limites em termos de r:
|x|^{3}\le r^{3},\qquad 2|x|^{2}|y|\le 2r^{3},\qquad |y|^{2}\le r^{2}.
Somando,
\bigl|x^{3}+2x^{2}y-y^{2}\bigr|\le 3r^{3}+r^{2}.

Passo 4

Quando (x,y)\to(0,0) temos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0. Como r^{3} e r^{2} tendem a 0 quando r\to 0, a estimativa da etapa anterior mostra que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{3}+2x^{2}y-y^{2}\bigr)=0.
Portanto, juntando com o termo constante:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{3}+2x^{2}y-y^{2}+2\bigr)=2+0=2.

Passo 5

(Faço também uma prova do tipo épsilon–delta, para ficar bem rigoroso e para você poder usar em provas.) Seja \varepsilon>0. Se r<1 então r^{3}\le r^{2}, logo da desigualdade da etapa 3 temos
\bigl|x^{3}+2x^{2}y-y^{2}\bigr|\le 3r^{3}+r^{2}\le 4r^{2}.
Escolha
\delta=\min\!\bigl(1,\tfrac{\sqrt{\varepsilon}}{2}\bigr).
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r<\delta então 4r^{2}<4\bigl(\tfrac{\sqrt{\varepsilon}}{2}\bigr)^{2}=\varepsilon, portanto
\bigl|x^{3}+2x^{2}y-y^{2}\bigr|<\varepsilon,
o que mostra que a diferença entre a função e 2 fica arbitrariamente pequena quando (x,y) está suficientemente perto de (0,0). Assim o limite é 2.

Resposta

2

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