Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que
0 <= y <= x e x^2+y^2 <= 2.

Passo 1

Temos a região D dada por todos os pares (x,y) tais que 0≤y≤x e x²+y²≤2. Queremos o volume do sólido gerado pela rotação de D em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos, onde cada fatia em x dá um disco de raio y_max(x).

Passo 2

O raio da seção transversal é y_max(x)=min(x,√(2−x²)). Para encontrar onde muda x e √(2−x²), resolvemos x=√(2−x²), o que leva a x²=2−x² ⇒ x=1. Assim, em 0≤x≤1 temos y_max=x, e em 1≤x≤√2 temos y_max=√(2−x²).

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é dado por V=∫π[y_max(x)]²dx ao longo de x. Como y_max muda em 1, dividimos a integral e escrevemos:
V=piintegral0^1x^2,dx+piintegral1^raiz2(2 - x^2),dx

Passo 4

Agora basta calcular as integrais básicas: integral0^1x^2dx=1/3 e
integral1^raiz2(2 - x^2)dx=l[2x-tfracx^33r]1^raiz2=4raiz2-53

Passo 5

Somando e multiplicando por π: V=π\bigl(1/3+(4√2-5)/3\bigr)=π(4√2-4)/3, que simplifica para V=\tfrac{4π}{3}(√2-1).

Resposta

\tfrac{4π}{3}(√2-1)

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