Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
e
.
Passo 1
Temos a região D dada por todos os pares (x,y) tais que 0≤y≤x e x²+y²≤2. Queremos o volume do sólido gerado pela rotação de D em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos, onde cada fatia em x dá um disco de raio y_max(x).
Passo 2
O raio da seção transversal é y_max(x)=min(x,√(2−x²)). Para encontrar onde muda x e √(2−x²), resolvemos x=√(2−x²), o que leva a x²=2−x² ⇒ x=1. Assim, em 0≤x≤1 temos y_max=x, e em 1≤x≤√2 temos y_max=√(2−x²).
Passo 3
Pelo método dos discos, o volume é dado por V=∫π[y_max(x)]²dx ao longo de x. Como y_max muda em 1, dividimos a integral e escrevemos:
Passo 4
Agora basta calcular as integrais básicas:
e
Passo 5
Somando e multiplicando por π: V=π\bigl(1/3+(4√2-5)/3\bigr)=π(4√2-4)/3, que simplifica para V=\tfrac{4π}{3}(√2-1).
Resposta
\tfrac{4π}{3}(√2-1)