Seja P=x in R ; 0. Mostre que f: P R, dada por f(x)=2 x-px(p-x), é uma função bijetora.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que a função fcolon PtoR dada por f(x)=2x-px(p-x), com P=xinRmid0, é bijetora. O conteúdo envolve análise de funções reais, especialmente injetividade e sobrejetividade, e vamos usar derivadas para verificar monotonicidade e limites para os extremos do domínio.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para calcular a derivada. Temos
f'(x)=l(2r)l(x(p-x)r)-l(2x-pr)l(p-2xr)l[x(p-x)r]^2

Passo 3

Expandindo e simplificando o numerador obtém-se
(p-x)^2+x^2>0para todo 0
logo f'(x)>0 em P. Assim, f é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 4

Para a sobrejetividade, analisamos os limites nos extremos do intervalo:
limxto0^+f(x)=-inftyelimxto p^-f(x)=+infty

Passo 5

Como f é contínua em (0,p) e atinge todos os valores reais entre -infty e +infty, temos f(P)=R, ou seja, f é sobrejetora.

Passo 6

Concluímos que, por ser injetora e sobrejetora, f é bijetora.

Resposta

A função fcolon PtoR dada por f(x)=2x-px(p-x) é bijetora.

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