Seja
. Mostre que
, dada por
, é uma função bijetora.
Passo 1
O enunciado pede mostrar que a função
dada por
, com
, é bijetora. O conteúdo envolve análise de funções reais, especialmente injetividade e sobrejetividade, e vamos usar derivadas para verificar monotonicidade e limites para os extremos do domínio.
Passo 2
Aplicamos a regra do quociente para calcular a derivada. Temos
Passo 3
Expandindo e simplificando o numerador obtém-se
logo
Passo 4
Para a sobrejetividade, analisamos os limites nos extremos do intervalo:
Passo 5
Como
é contínua em
e atinge todos os valores reais entre
e
, temos
, ou seja,
é sobrejetora.
Passo 6
Concluímos que, por ser injetora e sobrejetora,
é bijetora.
Resposta
A função
dada por
é bijetora.