Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que
& y >= 0,1 <= x <= 2 e x^2-y^2 >= & 1

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido de revolução obtido ao girar em torno do eixo x a região
y ≥ 0, 1 ≤ x ≤ 2 e x²–y² ≥ 1. O conteúdo aqui é o método dos discos (ou fatias) para volumes de revolução e vamos precisar usar a definição de volume via integral de π·[raio(x)]².

Passo 2

Para entender a região, resolvemos a desigualdade x²–y² ≥ 1 em função de y. Como y ≥ 0, temos
y² ≤ x² 1 ²²
Logo o limite superior de y é
y = raizx² 1 ²
e o limite inferior é y = 0, no intervalo 1 ≤ x ≤ 2.

Passo 3

Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y(x)=√(x²–1). O volume é dado por
V = π integral1^2 [raizx² - 1]² ,dx ²²
pois a área do disco é π·(raio)².

Passo 4

Dentro da integral simplificamos [√(x²–1)]² = x²–1. Então calculamos
integral1^2 (x² - 1) ,dx = [x³3 - x]1^2 = l(83 - 2r) - l(13 - 1r) = 23 - l(-23r) = 43 ²³

Passo 5

Multiplicando pelo fator π, obtemos o volume final: V = π·(4/3) = 4π/3.

Resposta

dfrac4pi3

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