Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido de revolução obtido ao girar em torno do eixo x a região
y ≥ 0, 1 ≤ x ≤ 2 e x²–y² ≥ 1. O conteúdo aqui é o método dos discos (ou fatias) para volumes de revolução e vamos precisar usar a definição de volume via integral de π·[raio(x)]².
y ≥ 0, 1 ≤ x ≤ 2 e x²–y² ≥ 1. O conteúdo aqui é o método dos discos (ou fatias) para volumes de revolução e vamos precisar usar a definição de volume via integral de π·[raio(x)]².
Passo 2
Para entender a região, resolvemos a desigualdade x²–y² ≥ 1 em função de y. Como y ≥ 0, temos
Logo o limite superior de y é
e o limite inferior é y = 0, no intervalo 1 ≤ x ≤ 2.
Passo 3
Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y(x)=√(x²–1). O volume é dado por
pois a área do disco é π·(raio)².
Passo 4
Dentro da integral simplificamos [√(x²–1)]² = x²–1. Então calculamos
Passo 5
Multiplicando pelo fator π, obtemos o volume final: V = π·(4/3) = 4π/3.