Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo 
 , da região compreendida entre o eixo 
  e a curva 
  
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo 
 , a região limitada pelo eixo 
  e pela curva 
 , onde 
  varia de 1 até 4. Para isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a fórmula que vamos usar. Quando giramos uma curva em torno do eixo 
 , o volume 
  pode ser calculado pela integral:
Aqui, 
  representa a função que descreve a curva em termos de 
 , e 
  e 
  são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 4.
Passo 3
No nosso exercício, a curva é 
 . Então, essa é a função 
  que vamos usar na fórmula:
O intervalo de 
  é de 1 a 4, então 
  e 
 .
Passo 4
Agora, vamos substituir 
  na fórmula do volume:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Onde 
  é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
Resposta
O volume do sólido é 
  unidades cúbicas.