Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo 
 , dos seguintes conjuntos: 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido de revolução formado ao girar em torno do eixo 
  a região 
 , que é definida por:
Conteúdo da matéria: Esse problema envolve cálculo de volumes de sólidos de revolução, utilizando o método dos discos ou das cascas cilíndricas.
O que vamos precisar:
- Entender a região 
no plano.  - Aplicar o método adequado para calcular o volume.
 - Resolver integrais envolvendo funções quadráticas.
 
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região 
 . Ela é definida por:
Isso significa que 
  está entre dois círculos concêntricos com centro na origem:
- Círculo interno: 
(raio 1)  - Círculo externo: 
(raio 2)  
E apenas a parte superior desses círculos, já que 
 .
Passo 3
Vamos usar o método dos discos para calcular o volume. Esse método consiste em integrar a área de discos circulares ao longo do eixo de rotação.
A área de um disco em um ponto 
  é dada por:
Onde:
- 
é o raio externo  - 
é o raio interno  
No nosso caso:
- 
vem do círculo externo:  - 
vem do círculo interno:  
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Observando as equações dos círculos:
- Para 
entre e , ambos os círculos existem e varia de a .  - Para 
entre e , e entre e , o círculo interno não existe na parte superior ( ), então varia de 0 a .  
Portanto, dividimos a integração em duas partes:
- De 
a e de a :  
- De 
a :  
Passo 5
Vamos calcular as integrais separadamente.
- Para 
de a e de a :  
Multiplicamos por 2 porque a função é simétrica em relação ao eixo 
 .
- Para 
de a :  
Passo 6
Calculando 
 :
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, somamos 
  e 
  para obter o volume total:
Resposta
O volume do sólido de revolução é 
 .