Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y) tais que:
0 \leq x \leq 1 e x^{3} \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região no plano dada por
0 \le x \le 1,\quad x^3 \le y \le 1.
Vamos usar o método das “arruelas” (washers), que diz que, para cada fatia em x, a área da seção transversal é a área de um círculo de raio externo menos a de um círculo de raio interno.

Passo 2

Em cada posição x, o raio externo é
R(x)=1
e o raio interno é
r(x)=x^3.
Logo, a área da arruela é
A(x)=\pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr] =\pi\bigl[1^2 - (x^3)^2\bigr] =\pi\bigl(1 - x^6\bigr).

Passo 3

Para obter o volume, integramos A(x) de x=0 até x=1:
V=\int_{0}^{1}A(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}\pi\bigl(1 - x^6\bigr)\,\mathrm{d}x =\pi\int_{0}^{1}(1 - x^6)\,\mathrm{d}x.
Calculemos essa integral:
\int_{0}^{1}(1 - x^6)\,\mathrm{d}x =\Bigl[x - \tfrac{x^7}{7}\Bigr]_{0}^{1} =1 - \tfrac{1}{7} =\tfrac{6}{7}.
Portanto
V=\pi\cdot\tfrac{6}{7}=\tfrac{6\pi}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{6\pi}{7}

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