Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, do gráfico da função dada.
f(x)=\frac{x}{4} e 1 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo y, o gráfico da função
f(x)=\frac{x}{4},
no intervalo 1\le x\le2.
O conteúdo é “área de superfície de revolução em torno do eixo y”, que usa a fórmula
S = \int_a^b 2\pi\,x\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\biggl(\frac{x}{4}\biggr)=\frac{1}{4}.
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1+\bigl(f'(x)\bigr)^2 = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16},
e
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2} = \frac{\sqrt{17}}{4}.

Passo 3

Substituindo tudo na fórmula da área:
S = \int_{1}^{2}2\pi\,x\cdot\frac{\sqrt{17}}{4}\,\mathrm{d}x =\frac{2\pi\sqrt{17}}{4}\int_{1}^{2}x\,\mathrm{d}x =\frac{\pi\sqrt{17}}{2}\int_{1}^{2}x\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calculamos a integral
\int_{1}^{2}x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator externo, obtemos
S = \frac{\pi\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3\pi\sqrt{17}}{4}.

Resposta

\frac{3\pi\sqrt{17}}{4}

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