Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que
y \geqslant 0,1 \leqslant x \leqslant 2 e x^{2}-y^{2} \geqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de pontos (x,y) que satisfazem as três condições:
y \geqslant 0,\quad 1 \leqslant x \leqslant 2,\quad x^{2}-y^{2} \geqslant 1.
Informações dadas (lista clara):
\text{(i)}\; y \geqslant 0,
\text{(ii)}\; 1 \leqslant x \leqslant 2,
\text{(iii)}\; x^{2}-y^{2} \geqslant 1.
Queremos o volume do sólido gerado pela rotação desse conjunto em torno do eixo x.

Passo 2

Vamos entender a região no plano xy descrita pelas desigualdades do passo anterior. Da desigualdade \,x^{2}-y^{2}\geqslant 1, fazemos manipulação algébrica para isolar y:
x^{2}-y^{2}\geqslant 1 \;\Longleftrightarrow\; y^{2}\leqslant x^{2}-1.
Como o enunciado impõe y\geqslant 0, tomamos a raiz quadrada não-negativa:
0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x^{2}-1}.
Note que \sqrt{x^{2}-1} só é real quando x^{2}-1\geqslant 0, isto é, quando |x|\geqslant 1. Mas o enunciado já restringe x a 1\leqslant x\leqslant 2, então a raiz está bem definida nesse intervalo. Conclusão: para cada x em [1,2], y varia de 0 até \sqrt{x^{2}-1}. A fronteira superior da região é a curva
y=\sqrt{x^{2}-1},\quad x\in[1,2],
e a fronteira inferior é a reta y=0.

Passo 3

Agora vamos entender o que acontece ao rotacionar essa região em torno do eixo x. Pense em cortar o sólido por um plano perpendicular ao eixo x em uma posição fixa x. O corte é um círculo (disco) cujo raio é a distância do eixo x até a curva superior y=\sqrt{x^{2}-1}. Portanto o raio desse disco, em coordenada x, é
R(x)=\sqrt{x^{2}-1}.
A área do disco de raio R(x) é dada pela fórmula da área do círculo:
A(x)=\pi \bigl(R(x)\bigr)^{2}=\pi\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}.
Breve explicação da fórmula: a área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. Aqui o raio depende de x, por isso escrevemos r=R(x) e a área da seção transversal é A(x)=\pi R(x)^{2}. O volume do sólido é obtido somando (integrando) as áreas dos discos ao longo de x de 1 a 2.

Passo 4

Escrevendo o elemento de volume: um cilindrinho de espessura dx em x tem volume aproximado
dV = A(x)\,dx = \pi\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}\,dx.
Simplificando a expressão dentro da integral:
\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}=x^{2}-1.
Logo o integrando fica simples e temos a integral para o volume total:
V=\int_{x=1}^{x=2} \pi\,(x^{2}-1)\,dx.
Também podemos tirar o \pi para fora da integral, pois é constante:
V=\pi\int_{1}^{2} (x^{2}-1)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral passo a passo. Vamos integrar termo a termo:
\int (x^{2}-1)\,dx=\int x^{2}\,dx - \int 1\,dx.
As primitivas conhecidas são:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 1\,dx = x.
Portanto uma primitiva de x^{2}-1 é
\frac{x^{3}}{3}-x.
Aplicando o teorema fundamental do cálculo para avaliar de 1 a 2:
\int_{1}^{2} (x^{2}-1)\,dx = \Bigl[\frac{x^{3}}{3}-x\Bigr]_{1}^{2}.

Passo 6

Avaliamo o valor da primitiva nos extremos:
\text{em } x=2:\quad \frac{2^{3}}{3}-2 = \frac{8}{3}-2 = \frac{8-6}{3}=\frac{2}{3},
\text{em } x=1:\quad \frac{1^{3}}{3}-1 = \frac{1}{3}-1 = \frac{1-3}{3}=-\frac{2}{3}.
Subtraindo:
\Bigl[\frac{x^{3}}{3}-x\Bigr]_{1}^{2} = \frac{2}{3} - \Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr) = \frac{4}{3}.
Lembrando do fator \pi que tiramos para fora, o volume final é
V=\pi\cdot \frac{4}{3}=\frac{4\pi}{3}.
Respira! A conta ficou limpinha e interpretável: é como somar discos cujo raio cresce com x segundo \sqrt{x^{2}-1}.

Resposta

\dfrac{4\pi}{3}

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