Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares (
) tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de pontos
que satisfazem as três condições:
Informações dadas (lista clara):
Queremos o volume do sólido gerado pela rotação desse conjunto em torno do eixo
.
Passo 2
Vamos entender a região no plano
descrita pelas desigualdades do passo anterior. Da desigualdade
, fazemos manipulação algébrica para isolar
:
Como o enunciado impõe
, tomamos a raiz quadrada não-negativa:
Note que
só é real quando
, isto é, quando
. Mas o enunciado já restringe
a
, então a raiz está bem definida nesse intervalo. Conclusão: para cada
em
,
varia de
até
. A fronteira superior da região é a curva
e a fronteira inferior é a reta
.
Passo 3
Agora vamos entender o que acontece ao rotacionar essa região em torno do eixo
. Pense em cortar o sólido por um plano perpendicular ao eixo
em uma posição fixa
. O corte é um círculo (disco) cujo raio é a distância do eixo
até a curva superior
. Portanto o raio desse disco, em coordenada
, é
A área do disco de raio
é dada pela fórmula da área do círculo:
Breve explicação da fórmula: a área de um círculo de raio
é
. Aqui o raio depende de
, por isso escrevemos
e a área da seção transversal é
. O volume do sólido é obtido somando (integrando) as áreas dos discos ao longo de
de
a
.
Passo 4
Escrevendo o elemento de volume: um cilindrinho de espessura
em
tem volume aproximado
Simplificando a expressão dentro da integral:
Logo o integrando fica simples e temos a integral para o volume total:
Também podemos tirar o
para fora da integral, pois é constante:
Passo 5
Agora calculamos a integral passo a passo. Vamos integrar termo a termo:
As primitivas conhecidas são:
Portanto uma primitiva de
é
Aplicando o teorema fundamental do cálculo para avaliar de
a
:
Passo 6
Avaliamo o valor da primitiva nos extremos:
Subtraindo:
Lembrando do fator
que tiramos para fora, o volume final é
Respira! A conta ficou limpinha e interpretável: é como somar discos cujo raio cresce com
segundo
.