Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{x d x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x\,dx}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}
ou seja, calcular a primitiva da função x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}. As informações relevantes são: o integrando contém x multiplicando dx e uma expressão em x^2-1 dentro de uma raiz cúbica \sqrt[3]{x^{2}-1}. Queremos uma antiderivada (primitiva) dessa função, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição adequada. Observa-se que dentro da raiz cúbica aparece a expressão x^{2}-1. Uma escolha natural é definir a nova variável como essa expressão:
u = x^{2}-1.
A ideia do Método da Substituição é trocar a variável x por u de modo que a integral fique em termos de u, o que normalmente simplifica a potência/radical.

Passo 3

Agora calculamos a diferencial du. Derivando u em relação a x obtemos
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = 2x\,dx.
Isolando x\,dx (porque ele aparece no integrando), temos
x\,dx = \frac{du}{2}.
Isso é fundamental: substituímos x\,dx por \dfrac{du}{2}.

Passo 4

Reescrevemos a raiz cúbica como potência para ficar mais claro:
\sqrt[3]{x^{2}-1} = (x^{2}-1)^{1/3}.
Com a substituição u=x^{2}-1, temos (x^{2}-1)^{1/3}=u^{1/3}. Então substituímos tudo na integral:
\int \frac{x\,dx}{\sqrt[3]{x^{2}-1}} = \int \frac{x\,dx}{(x^{2}-1)^{1/3}} = \int \frac{1}{u^{1/3}}\left(\frac{du}{2}\right).
Fatorando a constante \tfrac{1}{2},
\int \frac{x\,dx}{\sqrt[3]{x^{2}-1}} = \frac{1}{2}\int u^{-1/3}\,du.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{3}. Então n+1 = -\tfrac{1}{3}+1 = \tfrac{2}{3}. Aplicando a fórmula,
\int u^{-1/3}\,du = \frac{u^{2/3}}{2/3}+C = \frac{3}{2}u^{2/3}+C.
Multiplicando pela constante \tfrac{1}{2} que estava fora da integral,
\frac{1}{2}\int u^{-1/3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}u^{2/3}+C = \frac{3}{4}u^{2/3}+C.

Passo 6

Voltando à variável original x usando u=x^{2}-1, obtemos a primitiva:
\frac{3}{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2/3}+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando o resultado para checar se volta ao integrando,
\frac{d}{dx}\left[\frac{3}{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2/3}\right] = \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl(x^{2}-1\bigr)^{-1/3}\cdot 2x = x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{-1/3},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{3}{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2/3}+C

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