Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
ou seja, calcular a primitiva da função
. As informações relevantes são: o integrando contém
multiplicando
e uma expressão em
dentro de uma raiz cúbica
. Queremos uma antiderivada (primitiva) dessa função, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos escolher uma substituição adequada. Observa-se que dentro da raiz cúbica aparece a expressão
. Uma escolha natural é definir a nova variável como essa expressão:
A ideia do Método da Substituição é trocar a variável
por
de modo que a integral fique em termos de
, o que normalmente simplifica a potência/radical.
Passo 3
Agora calculamos a diferencial
. Derivando
em relação a
obtemos
Isolando
(porque ele aparece no integrando), temos
Isso é fundamental: substituímos
por
.
Passo 4
Reescrevemos a raiz cúbica como potência para ficar mais claro:
Com a substituição
, temos
. Então substituímos tudo na integral:
Fatorando a constante
,
Passo 5
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
. Então
. Aplicando a fórmula,
Multiplicando pela constante
que estava fora da integral,
Passo 6
Voltando à variável original
usando
, obtemos a primitiva:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando o resultado para checar se volta ao integrando,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.