Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os ( x, y ) tais que
0 less x less 2, y less {x-1} \mathrm{e} y less 0.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y\), do conjunto de pontos \((x,y)\) que satisfazem as condições \[0 < x < 2,\quad y < x-1,\quad y < 0.
Lista de informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{cases} 0 < x < 2 &\text{(intervalo para \(x)},\[4pt] y < x-1 &(posição relativa à reta y=x-1),\[4pt] y < 0 &(abaixo do eixo x). \end{cases}]
O que precisamos encontrar: o volume do sólido obtido ao fazer a rotação desse conjunto em torno do eixo y.]

Passo 2

Interpretando as desigualdades para entender a região no plano xy.
Compare as duas condições sobre y: y < x-1 e y < 0. Para cada x o valor admissível de y é o menor dos dois (ou seja, a região fica abaixo de ambas as curvas). No entanto, se quisermos uma região limitada entre duas curvas (o que costuma ser o sentido de exercícios assim), faz mais sentido interpretar o conjunto como os pontos onde y fica entre a reta y=x-1 e a reta y=0, isto é,
x-1 \le y \le 0.
Seguindo essa interpretação (que dá região limitada), verificamos para que x existe intervalo não vazio:
x-1 \le 0 \iff x \le 1.
Juntando com 0 < x < 2, a região efetiva em x é 0 < x \le 1. Portanto a região do plano é o triângulo delimitado por:
\text{retas } x=0,\; y=0,\; y=x-1,
cujos vértices são (0,0), (0,-1) (pois em x=0 temos y=x-1=-1) e (1,0). Esta é uma região triangular limitada e bem definida.

Passo 3

Escolha do método de cálculo e justificativa didática.
Vou usar o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros), porque:
  • Estamos rotacionando em torno do eixo y (eixo vertical).
  • A região está naturalmente descrita por faixas verticais (variando x e, para cada x, y entre duas funções), então uma tira vertical quando girada gera uma casca cilíndrica — o método fica simples e direto.
Explicação da fórmula das cascas (aula rápida): considere uma tira vertical em x de largura infinitesimal dx, de altura h(x) (diferença entre a função superior e a inferior). Ao girar essa tira em torno do eixo y forma-se uma casca cilíndrica de raio igual à distância da tira ao eixo y, que é r(x)=x. A área lateral aproximada da casca é 2\pi r(x)\,h(x) e o volume aproximado é essa área vezes a espessura dx, isto é 2\pi r(x)h(x)\,dx. Somando (integrando) todas as cascas de x=a até x=b obtemos a fórmula
V = 2\pi \int_{a}^{b} r(x)\,h(x)\,dx.
Aqui:
  • r(x) é o raio da casca (distância até o eixo de rotação),
  • h(x) é a altura da casca (topo menos base da região na vertical),
  • a,b são os limites em x.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema: identificar r(x), h(x) e os limites.
Da análise geométrica (Passo 2) temos x variando de 0 até 1. Para cada x nessa faixa:
  • o raio da casca é r(x)=x (distância do ponto vertical até o eixo y),
  • a altura da casca é a diferença entre a função superior y_{\text{sup}}=0 e a inferior y_{\text{inf}}=x-1, portanto
h(x)=0-(x-1)=1-x.
Logo o volume é
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\,(1-x)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro escrevemos o integrando de forma expandida:
x(1-x)=x-x^{2}.
Portanto
V = 2\pi \int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx.
Agora encontramos a primitiva (antiderivada):
\int (x - x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}.
Avaliaremos entre 0 e 1:
\left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{2}}{2} - \frac{1^{3}}{3}\right) - 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{3}.

Passo 6

Interpretação final e encorajamento.
O volume do sólido obtido é finito e vale \dfrac{\pi}{3}. Boa: conseguimos transformar a descrição em desigualdades numa figura geométrica e aplicar o método das cascas, que é uma ferramenta muito prática para rotações em torno de eixos verticais quando a região é dada em função de x. Se quiser, posso também fazer a solução pelo método dos discos/anel (usando y como variável), para você ver a comparação — mas a casca foi mais direta aqui.

Resposta

\dfrac{\pi}{3}

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