Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os (
) tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
Lista de informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
)},\[4pt] y < x-1 &(posição relativa à reta
),\[4pt] y < 0 &(abaixo do eixo
). \end{cases}]
O que precisamos encontrar: o volume do sólido obtido ao fazer a rotação desse conjunto em torno do eixo
.]
Passo 2
Interpretando as desigualdades para entender a região no plano
.
Compare as duas condições sobre
:
e
. Para cada
o valor admissível de
é o menor dos dois (ou seja, a região fica abaixo de ambas as curvas). No entanto, se quisermos uma região limitada entre duas curvas (o que costuma ser o sentido de exercícios assim), faz mais sentido interpretar o conjunto como os pontos onde
fica entre a reta
e a reta
, isto é,
Seguindo essa interpretação (que dá região limitada), verificamos para que
existe intervalo não vazio:
Juntando com
, a região efetiva em
é
. Portanto a região do plano é o triângulo delimitado por:
cujos vértices são
,
(pois em
temos
) e
. Esta é uma região triangular limitada e bem definida.
Passo 3
Escolha do método de cálculo e justificativa didática.
Vou usar o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros), porque:
- Estamos rotacionando em torno do eixo
(eixo vertical). - A região está naturalmente descrita por faixas verticais (variando
e, para cada , entre duas funções), então uma tira vertical quando girada gera uma casca cilíndrica — o método fica simples e direto.
Explicação da fórmula das cascas (aula rápida): considere uma tira vertical em
de largura infinitesimal
, de altura
(diferença entre a função superior e a inferior). Ao girar essa tira em torno do eixo
forma-se uma casca cilíndrica de raio igual à distância da tira ao eixo
, que é
. A área lateral aproximada da casca é
e o volume aproximado é essa área vezes a espessura
, isto é
. Somando (integrando) todas as cascas de
até
obtemos a fórmula
Aqui:
-
é o raio da casca (distância até o eixo de rotação), -
é a altura da casca (topo menos base da região na vertical), -
são os limites em .
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso problema: identificar
,
e os limites.
Da análise geométrica (Passo 2) temos
variando de
até
. Para cada
nessa faixa:
- o raio da casca é
(distância do ponto vertical até o eixo ), - a altura da casca é a diferença entre a função superior
e a inferior , portanto
Logo o volume é
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
Primeiro escrevemos o integrando de forma expandida:
Portanto
Agora encontramos a primitiva (antiderivada):
Avaliaremos entre
e
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Interpretação final e encorajamento.
O volume do sólido obtido é finito e vale
. Boa: conseguimos transformar a descrição em desigualdades numa figura geométrica e aplicar o método das cascas, que é uma ferramenta muito prática para rotações em torno de eixos verticais quando a região é dada em função de
. Se quiser, posso também fazer a solução pelo método dos discos/anel (usando
como variável), para você ver a comparação — mas a casca foi mais direta aqui.