Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os (
) tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo
, o conjunto de pontos
que satisfazem
Informações relevantes:
O sólido é a rotação dessa região em torno do eixo
. Nosso objetivo final é calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Escolha do método: como a região é descrita naturalmente por intervalos em
(tem limites em
de
a
) e a rotação é em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros concêntricos) é muito conveniente e direto. Vou explicar o método antes de aplicar.
O método das cascas diz que, ao rotacionar uma tira vertical de largura infinitesimal
localizada em
ao redor do eixo
, obtemos uma casca cilíndrica de:
- raio (distância ao eixo
): raio ), - altura (extensão da região na direção
nessa abscissa): altura ), - espessura:
).
A fórmula elementar para o volume dessa casca é
O volume total é a integral dessas cascas para
variando de
a
:
Passo 3
Desenvolvendo a integral: primeiro simplifico o integrando.
Portanto
Agora calcule a primitiva termo a termo. As primitivas são:
Logo uma primitiva de
é
Passo 4
Avalio a integral definida entre
e
:
Calculo em
:
Calculo em
:
Subtraindo:
Coloco no mesmo denominador (
):
Portanto a integral vale
. Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 5
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): usando o método dos discos/aros (integrando em
) obteríamos
que também dá
. Dois métodos concordando é sinal de que o resultado está correto. Força aí — você já tem a resposta e viu o passo a passo para fazer esse tipo de conta na prova!