Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os ( x, y ) tais que
1 less x less 4 e 1 less y less {x}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo y, o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
1 < x < 4 \quad\text{e}\quad 1 < y < x.
Informações relevantes:
\text{Região: } \{(x,y)\mid 1<x<4,\;1<y<x\}.ã
O sólido é a rotação dessa região em torno do eixo y. Nosso objetivo final é calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Escolha do método: como a região é descrita naturalmente por intervalos em x (tem limites em x de 1 a 4) e a rotação é em torno do eixo y, o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros concêntricos) é muito conveniente e direto. Vou explicar o método antes de aplicar.
O método das cascas diz que, ao rotacionar uma tira vertical de largura infinitesimal dx localizada em x ao redor do eixo y, obtemos uma casca cilíndrica de:
  • raio (distância ao eixo y): raio =x),
  • altura (extensão da região na direção y nessa abscissa): altura =y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} = x - 1),
  • espessura: dx).
A fórmula elementar para o volume dessa casca é
dV = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot(dx) = 2\pi x (x-1)\,dx.
O volume total é a integral dessas cascas para x variando de 1 a 4:
V = \int_{1}^{4} 2\pi x(x-1)\,dx.

Passo 3

Desenvolvendo a integral: primeiro simplifico o integrando.
x(x-1)=x^2-x.
Portanto
V = 2\pi \int_{1}^{4} (x^2 - x)\,dx.
Agora calcule a primitiva termo a termo. As primitivas são:
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3},\qquad \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Logo uma primitiva de x^2-x é
\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}.

Passo 4

Avalio a integral definida entre 1 e 4:
\int_{1}^{4} (x^2-x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4}.
Calculo em x=4:
\frac{4^3}{3}-\frac{4^2}{2} = \frac{64}{3}-\frac{16}{2} = \frac{64}{3}-8 = \frac{64-24}{3}=\frac{40}{3}.
Calculo em x=1:
\frac{1^3}{3}-\frac{1^2}{2} = \frac{1}{3}-\frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}.
Subtraindo:
\int_{1}^{4} (x^2-x)\,dx = \frac{40}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{40}{3} + \frac{1}{6}.
Coloco no mesmo denominador ( 6):
\frac{40}{3} = \frac{80}{6},\quad \frac{80}{6}+\frac{1}{6}=\frac{81}{6}=\frac{27}{2}.
Portanto a integral vale \frac{27}{2}. Multiplicando pelo fator 2\pi que estava fora:
V = 2\pi \cdot \frac{27}{2} = 27\pi.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): usando o método dos discos/aros (integrando em y) obteríamos
V=\pi\int_{y=1}^{4} \big(4^2 - y^2\big)\,dy = \pi\int_{1}^{4} (16-y^2)\,dy,
que também dá 27\pi. Dois métodos concordando é sinal de que o resultado está correto. Força aí — você já tem a resposta e viu o passo a passo para fazer esse tipo de conta na prova!

Resposta

27\pi

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